Question

已知邊長(zhǎng)為6的正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁，E，F(xiàn)為AD、CD上靠近D的三等分點(diǎn)，H為BB₁上靠近B的三等分點(diǎn)，G是EF的中點(diǎn)．
（1）求A₁H與平面EFH所成角的余弦值；
（2）設(shè)點(diǎn)P在線段GH上，且

GP

GH

=λ，試確定λ的值，使得C₁P的長(zhǎng)度最短．

Answer 1

分析：（1）由題意建立坐標(biāo)系，求出平面EFH的法向量，利用對(duì)應(yīng)向量的數(shù)量積求出線面角的余弦值，再求其正弦值；
（2）由題意先求出P點(diǎn)的坐標(biāo)，再求向量

C1P

的長(zhǎng)度的平方，轉(zhuǎn)化為關(guān)于λ的一個(gè)一元二次函數(shù)，當(dāng)取在對(duì)稱軸出有最小值．

解答：解：由題意，以D₁為坐標(biāo)原點(diǎn)，A₁D₁，D₁C₁，DD₁為x，y，z軸建立直角坐標(biāo)系
，
可得E（2，0，6），F(xiàn)（0，2，6），H（6，6，4），A₁（6，0，0）．
（1）設(shè)平面EFH的法向量

n

=（1，x，y），∵

EF

=（-2，2，0），

EH

=（4，6，-2）
∴

-2+2x=0 4+6x-2y=0

，求得

n

=（1，1，5）；
∵

A1H

=（0，6，4），∴cos＜

n

，

A1H

＞=

n • A1H

| n |  | A1H |

=

26

27 52

=

39

9

；
設(shè)A₁H 與平面EF所成角θ，則cosθ=

1- 39 81

=

42

9

．（5分）
（2）由題意知，G（1，1，6），C₁（0，6，0），

GH

=（5，5，-2），
∵

GP

GH

=λ，∴設(shè)

GP

=λ

GH

=（5λ，5λ，-2λ），解得P（5λ+1，5λ+1，-2λ+6），
∴

C1P

=（5λ+1，5λ-5，-2λ+6），
∴

C1P

2=（5λ+1）²+（5λ-5）²+（2λ-6）²=54λ²-64λ+58，
當(dāng)λ=

16

27

時(shí)，C₁P的長(zhǎng)度取得最小值．（10分）

點(diǎn)評(píng)：本題用向量法求線面角的問(wèn)題及求線段的最小值，只要用了向量的數(shù)量積和向量的長(zhǎng)度；在求長(zhǎng)度時(shí)轉(zhuǎn)化到了二次函數(shù)求最小值，考查了轉(zhuǎn)化思想和運(yùn)算能力．