Question

根據(jù)下列條件，求拋物線的方程：

    (1)以原點(diǎn)為頂點(diǎn)，坐標(biāo)軸為對稱軸，且經(jīng)過點(diǎn)Q(2，－4)；

    (2)以原點(diǎn)為頂點(diǎn)、坐標(biāo)軸為對稱軸，且焦點(diǎn)在

直線3x－4y－12＝0上；

    (3)頂點(diǎn)在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在yお軸上，拋物線上一點(diǎn)P(m，－3)到焦點(diǎn)的距離為5。

 

Answer 1

答案：
解析：

(1)因點(diǎn)Q在第四象限，拋物線經(jīng)過點(diǎn) Q，所以焦點(diǎn)在x軸正半軸上或者在y，軸的負(fù)半軸上，故可設(shè)拋物線的方程為y2＝2px(p＞0)或x2＝－2py(p＞O)。將點(diǎn)Q的坐標(biāo)代入，分別得p：4＝4或p＝，故所求拋物線方程為y2＝8x和x2＝－y。 (2)因?qū)ΨQ軸為坐標(biāo)軸，所以焦點(diǎn)是直線3x－4y－12＝0與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)(4，0)或(0，－3)，故所求拋物線方程是y2＝16x或x2＝－12y。 (3)因焦點(diǎn)在y軸上，且拋物線經(jīng)過點(diǎn)P(m，－3)，∴拋物線的焦點(diǎn)在y軸的負(fù)半軸上可設(shè)拋物線的方程為。據(jù)拋物線的定義知點(diǎn)P到準(zhǔn)線y＝的距離也是5，∴有一(－3)＝5，從而得p＝4，所求拋物線的方程為＝－8y。