Question

設計一幅宣傳畫，要求畫面面積為4840cm²，畫面的寬與高的比為λ（λ＞0），畫面的上、下各留8cm空白，左、右各留5cm空白．
（1）用λ表示宣傳畫所用紙張面積S=f（λ）；
（2）判斷函數(shù)S=f（λ）在（0，+∞）上的單調(diào)性，并證明你的結論；
（3）當λ取何值時，宣傳畫所用紙張面積S=f（λ）最小？

Answer 1

分析：（1）設畫面高為xcm，寬為λxcm，則λx²=4840，可得紙張面積，從而可得結論；
（2）利用單調(diào)性的定義，即可得出結論；
（3）利用函數(shù)的單調(diào)性，即可求最值．

解答：解：（1）設畫面高為xcm，寬為λxcm，則λx²=4840．
所以紙張面積為S=f（λ）=（x+16）（λx+10）=λx²+（16λ+10）x+160，---------（2分）
將x=

22 10

λ

代入上式，得S=f（λ）=5000+44

10

（8

λ

+

5

λ

）．----------（4分）
（2）設0＜λ1＜λ2≤

5

8

則f(λ1)-f(λ2)=44

10

[8(

λ1

-

λ2

)+(

5

λ1

-

5

λ2

)]=
44

10

[8(

λ1

-

λ2

)+

5

λ1λ2

(

λ2

-

λ1

)]=44

10

(

λ1

-

λ2

)(8-

5

λ1λ2

)-----------（6分）
當0＜λ1＜λ2≤

5

8

時，

λ1λ2

＜

5

8

，∴

5

λ1λ2

＞8，
∴8-

5

λ1λ2

＜0，
∴f（λ₁）-f（λ₂）＞0，即f（λ₁）＞f（λ₂），
∴函數(shù)S=f（λ）在(0，

5

8

]上是減函數(shù)．
同理可證S=f（λ）在[

5

8

，+∞)上是增函數(shù)．-----------（8分）
（3）由（2）知，當λ∈(0，

5

8

]時，S=f（λ）是減函數(shù)，∴f(λ )≥f(

5

8

)
當λ∈[

5

8

，+∞)時，S=f（λ）是增函數(shù)，∴f(λ )≥f(

5

8

)；
∴當λ=

5

8

時，Smin=f(

5

8

)=6760cm2
答：λ=

5

8

時，使所用紙張面積最小為6760cm²-----------（10分）

點評：本題考查利用數(shù)學知識解決實際問題，考查函數(shù)的單調(diào)性與最值，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．