Question

①設x，y∈R⁺，且x+y+xy=2，求x+y的最小值．
②設x≥0，y≥0，且x²+y²=4，求xy-4（x+y）-2的最小值．

Answer 1

分析：（1）先根據均值不等式可知xy≤

(x+y)2

4

，代入x+y+xy=2中，得到關于x+y的一元二次不等式進去求得x+y的最小值．
（2）先根據x²+y²=4和xy=

(x+y)2-4

2

求出x+y的范圍，進而把xy=

(x+y)2-4

2

代入xy-4（x+y）-2中，設x+y=t則有f（t）=

1

2

t²-4t-4，進而根據t的范圍求得xy-4（x+y）-2的最小值．

解答：解：①∵x，y∈R⁺，
∴xy≤

(x+y)2

4

（當且僅當x=y時成立）
∵x+y+xy=2，
∴xy=2-（x+y）
∴2-（x+y）≤

(x+y)2

4

解得x+y≥2

3

-2或x+y≤-2-2

3

（舍去）
∴x+y的最小值為2

3

-2
②∵x²+y²=（x+y）²-2xy=4
∴xy=

(x+y)2-4

2

≤

(x+y)2

4

（當且僅當x=y時，等號成立．）
∴x+y≤8
設x+y=t則有f（t）=

1

2

t²-4t-4，函數為開口向上，對稱軸為t=4的拋物線
∵t≤8
∴f（t）≥f（4）=-12
故xy-4（x+y）-2的最小值為-12

點評：本題主要考查了基本不等式在最值問題中的應用．涉及了不等式和函數等知識點，有較強的綜合性．