Question

已知函數(shù)其中a>0.

（I）求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；

（II）若函數(shù)f（x）在區(qū)間（-2，0）內(nèi)恰有兩個(gè)零點(diǎn)，求a的取值范圍；

（III）當(dāng)a=1時(shí)，設(shè)函數(shù)f（x）在區(qū)間[t,t+3]上的最大值為M（t），最小值為m（t）,記g(t)=M(t)-m(t),求函數(shù)g(t)在區(qū)間[-3，-1]上的最小值。

【考點(diǎn)定位】本小題主要考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、函數(shù)的零點(diǎn)，函數(shù)的最值等基礎(chǔ)知識(shí).考查函數(shù)思想、分類討論思想.考查綜合分析和解決問(wèn)題的能力.

 

Answer 1

【答案】

（I）單調(diào)遞增區(qū)間是，；單調(diào)遞減區(qū)間是    （2）

（3）

【解析】（I）解：

由，得

當(dāng)x變化時(shí)，，的變化情況如下表：

x		-1		a
	+	0	-	0	+
		極大值		極小值

故函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是，；單調(diào)遞減區(qū)間是.

（II）解：由（I）知在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，在內(nèi)單調(diào)遞減，從而函數(shù)在區(qū)間內(nèi)恰有兩個(gè)零點(diǎn)當(dāng)且僅當(dāng)，解得.

所以，a的取值范圍是.

（III）解：a=1時(shí)，.由（I）知在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，在內(nèi)單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.

（1）當(dāng)時(shí)，，，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.因此，在上的最大值，而最小值為與中的較小者.由知，當(dāng)時(shí)，，故，所以.而在上單調(diào)遞增，因此.所以在上的最小值為.

（2）當(dāng)時(shí)，，且.

下面比較的大小由在，上單調(diào)遞增，

有 

又由，，

從而，

所以   綜上，函數(shù)在區(qū)間上的最小值為