Question

已知函數(shù)f(x)=xlnx，g(x)=-

2

3

x3+

1

2

ax2-3bx+c(a，b，c∈R)．
（1）若函數(shù)h（x）=f′（x）-g′（x）是其定義域上的增函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（2）若g（x）是奇函數(shù)，且g（x）的極大值是g(

3

3

)，求函數(shù)g（x）在區(qū)間[-1，m]上的最大值；
（3）證明：當(dāng)x＞0時(shí)，f′(x)＞

1

ex

-

2

ex

+1．

Answer 1

分析：（1）先對(duì)函數(shù)f（x）、g（x）進(jìn)行求導(dǎo)表示出函數(shù)h（x）的解析式，再對(duì)函數(shù)h（x）進(jìn)行求導(dǎo)，令導(dǎo)函數(shù)大于0求滿(mǎn)足條件的a的范圍即可得到答案．
（2）先根據(jù)g（x）是奇函數(shù)求出a=c=0，然后對(duì)函數(shù)g（x）進(jìn)行求導(dǎo)，根據(jù)在x=

3

3

出取極值可確定b的值，從而得到函數(shù)g（x）的解析式，然后對(duì)函數(shù)g（x）求導(dǎo)，根據(jù)函數(shù)g（x）的單調(diào)性可解題．
（3）將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為證明f(x)=xlnx＞

x

ex

-

2

e

對(duì)x＞0恒成立，對(duì)函數(shù)f（x）求導(dǎo)，根據(jù)函數(shù)f（x）的導(dǎo)函數(shù)確定f（x）的最小值；同樣求出

x

ex

-

2

e

的最大值，二者比較大小可證．

解答：解：（1）f'（x）=lnx+1，g'（x）=-2x²+ax-3b，所以h（x）=lnx+2x²-ax+3b+1，
由于h（x）是定義域內(nèi)的增函數(shù)，故h′(x)=

1

x

+4x-a≥0恒成立，
即a≤

1

x

+4x對(duì)?x＞0恒成立，又

1

x

+4x≥4（x=2時(shí)取等號(hào)），故a∈（-∞，4]．
（2）由g（x）是奇函數(shù)，則g（x）+g（-x）=0對(duì)?x＞0恒成立，從而a=c=0，
所以g(x)=-

2

3

x3-3bx，有g(shù)'（x）=-2x²-3b．
由g（x）極大值為g(

3

3

)，即g′(

3

3

)=0，從而b=-

2

9

；
因此g(x)=-

2

3

x3-

2

3

x，即g′(x)=-2x2+

2

3

=-2(x-

3

3

)(x+

3

3

)，
所以函數(shù)g（x）在(-∞，-

3

3

)和(

3

3

，+∞)上是減函數(shù)，在(-

3

3

，

3

3

)上是增函數(shù)．
由g（x）=0，得x=±1或x=0，因此得到：
當(dāng)-1＜m＜0時(shí)，最大值為g（-1）=0；
當(dāng)0≤m＜

3

3

時(shí)，最大值為g(m)=-

2

3

m3+

2

3

m；
當(dāng)m≥

3

3

時(shí)，最大值為g(

3

3

)=

4 3

27

．
（3）問(wèn)題等價(jià)于證明f(x)=xlnx＞

x

ex

-

2

e

對(duì)x＞0恒成立；
f'（x）=lnx+1，所以當(dāng)x∈(0，

1

e

)時(shí)，f'（x）＜0，f（x）在(0，

1

e

)上單調(diào)減；
當(dāng)x∈(

1

e

，+∞)時(shí)，f'（x）＞0，f（x）在(

1

e

，+∞)上單調(diào)增；
所以f（x）在（0，+∞）上最小值為-

1

e

（當(dāng)且僅當(dāng)x=

1

e

時(shí)取得）
設(shè)m(x)=

x

ex

-

2

e

(x＞0)，則m′(x)=

1-x

ex

，得m（x）最大值m(1)=-

1

e

（當(dāng)且僅當(dāng)x=1時(shí)取得），
又f（x）得最小值與m（x）的最大值不能同時(shí)取到，所以結(jié)論成立．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)之間的關(guān)系，即當(dāng)導(dǎo)函數(shù)大于0時(shí)原函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)導(dǎo)函數(shù)小于0時(shí)原函數(shù)單調(diào)遞減．