Question

在x軸的正方向上，從左向右依次取點列 {A_j}，j=1，2，…，以及在第一象限內的拋物線y2=

3

2

x上從左向右依次取點列{B_k}，k=1，2，…，使△A_k-1B_kA_k（k=1，2，…）都是等邊三角形，其中A₀是坐標原點，則第2011個等邊三角形的邊長是

2011

．

Answer 1

分析：由題設△A_k-1B_kA_k（k=1，2，…）都是等邊三角形，設第n個等邊三角形的邊長為a_n．則可得出第n個等邊三角形的在拋物線上的頂點B_n的坐標為（a1+a2+…+an-1+

an

2

，

3 2 (a1+a2+…+an-1+ an 2 )

）．再在第n個正三角形中求出它的高即可得到點B_n的縱坐標的另一種表示為

a 2 n -( 1 2 an)2

=

3

2

an．由此得到恒等式

3

2

an=

3 2 (a1+a2+…+an-1+ an 2 )

，利用此恒等式即可解出a_n=n，從而得到第2011個等邊三角形的邊長．

解答：解：（1）設第n個等邊三角形的邊長為a_n．則第n個等邊三角形的在拋物線上的頂點B_n的坐標為（a1+a2+…+an-1+

an

2

，

3 2 (a1+a2+…+an-1+ an 2 )

）．
再從第n個等邊三角形中，可得B_n的縱坐標為

a 2 n -( 1 2 an)2

=

3

2

an．
從而有

3

2

an=

3 2 (a1+a2+…+an-1+ an 2 )

，
即有

1

2

a

2 n

=a1+a2+…+an-1+

an

2

．
由此可得a1+a2+…+an=

an

2

+

1

2

a

2 n

①
以及a1+a2+…+an-1=

an-1

2

+

1

2

a

2 n-1

②
①-②即得an=

1

2

(an-an-1)+

1

2

(an-an-1)(an+an-1)．
變形可得（a_n-a_n-1-1）（a_n+a_n-1）=0．
由于a_n+a_n-1≠0，所以a_n-a_n-1=1．
在①式中取n=1，可得

1

2

a1=

1

2

a

2 1

，而a₁≠0，故a₁=1．所以a_n=n
∴第2011個等邊三角形的邊長 a₂₀₁₁=2011
故答案為2011

點評：本題考查數列與解析幾何的綜合，本題有一定的探究性，解題的關鍵是將點B_n的縱坐標用兩種形式表示出來從而得出恒成立的等式，本題綜合性強運算量大，解題時要嚴謹答題避免馬虎出錯導致解題失�。�本題考查了數形結合的技巧及轉化的思想，是高考中的易考題型