已知函數(shù)：f(x)＝alnx―ax―3(a∈R)

(1)討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性；

(2)若函數(shù)y＝f(x)的圖像在點(diǎn)(2，f(2))處的切線的傾斜角為45°，問：m在什么范圍取值時(shí)，函數(shù)在區(qū)間(2，3)上總存在極值？

(3)求證：＜(n≥2，n∈N*)．

答案：
解析：

　　解：(1)　　(1分)，

　　當(dāng)時(shí)，的單調(diào)增區(qū)間為，減區(qū)間為　　2分

　　當(dāng)時(shí)，的單調(diào)增區(qū)間為，減區(qū)間為　　3分

　　當(dāng)時(shí)，不是單調(diào)函數(shù)　　4分

　　(2)因?yàn)楹瘮?shù)的圖像在點(diǎn)處的切線的傾斜角為，

　　所以，所以，　　6分

　　，

　　　　7分

　　要使函數(shù)在區(qū)間上總存在極值，所以只需　　9分

　　解得　　10分

　　(3)令此時(shí)，所以，

　　由(1)知在上單調(diào)遞增，∴當(dāng)時(shí)，

　　即，∴對(duì)一切成立　　12分

　　∵，則有，∴

　　　　14分


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已知函數(shù)：f(x)＝x2＋bx＝c，其中：0≤b≤4，0≤c≤4，記函數(shù)f(x)滿足條件：的事件為A，則事件A發(fā)生的概率為

[　　]

A．

B．

C．

D．

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若直角坐標(biāo)平面內(nèi)的兩點(diǎn)P、Q滿足條件：

①P、Q都在函數(shù)y＝f(x)的圖象上；

②P、Q關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱．

則稱點(diǎn)對(duì)[P，Q]是函數(shù)Y＝f(x)的一對(duì)“友好點(diǎn)對(duì)”(點(diǎn)對(duì)[P，Q]與[Q，P]看作同一對(duì)“友好點(diǎn)對(duì)”)．已知函數(shù)，f(x)＝，則此函數(shù)的“友好點(diǎn)對(duì)”有

[　　]

A．0對(duì)

B．1對(duì)

C．2對(duì)

D．3對(duì)

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已知函數(shù)若f(x)＝2，則x＝________．

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已知函數(shù)　f(x)＝在[1，＋∞)上為減函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

【解析】本試題考查了導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的運(yùn)用。根據(jù)函數(shù)f(x)＝在[1，＋∞)上為減函數(shù)，可知導(dǎo)函數(shù)在給定區(qū)間恒小于等于零，f ′(x)≤0在[1，＋∞)上恒成立，lna≥1－lnx在[1，＋∞)上恒成立．然后利用φ(x)＝1－lnx，φ(x)max＝1，從而得到a≥e

f ′(x)＝＝，因?yàn)椤(x)在[1，＋∞)上為減函數(shù)，故　f ′(x)≤0在[1，＋∞)上恒成立，即lna≥1－lnx在[1，＋∞)上恒成立．設(shè)φ(x)＝1－lnx，φ(x)max＝1，故lna≥1，a≥e，

 

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