Question

已知存在實數a，滿足對任意的實數b，直線y=-x+b都不是曲線y=x³-3ax的切線，則實數a的取值范圍是

a＜

1

3

．

Answer 1

分析：由直線y=-x+b得直線斜率為-1，直線y=-x+b不與曲線f（x）相切知曲線f（x）上任一點斜率都不為-1，即f′（x）≠-1，求導函數，并求出其范圍[-3a，+∞），得不等式-3a＞-1，即得實數a的取值范圍．

解答：解：設f（x）=x³-3ax，求導函數，可得f′（x）=3x²-3a∈[-3a，+∞），
∵存在實數a，滿足對任意的實數b，直線y=-x+b都不是曲線y=x³-3ax的切線，
∴-1∉[-3a，+∞），∴-3a＞-1，即實數a的取值范圍為a＜

1

3

故答案為：a＜

1

3

點評：本題考查導數知識的運用，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．