Question

若直線l：與拋物線交于A、B兩點，O點是坐標原點。

(1)當m=－1,c=－2時，求證：OA⊥OB；

 (2)若OA⊥OB，求證：直線l恒過定點；并求出這個定點坐標。

(3)當OA⊥OB時，試問△OAB的外接圓與拋物線的準線位置關系如何？證明你的結論。

 

Answer 1

【答案】

解：設A(x₁,y₁)、B(x₂,y₂)，由得

可知y₁+y₂=－2m  y₁y₂=2c   ∴x₁+x₂=2m²—2c  x₁x₂= c²,

(1) 當m=－1,c=－2時，x₁x₂ +y₁y₂=0 所以OA⊥OB.

(2) 當OA⊥OB時，x₁x₂ +y₁y₂=0 于是c²+2c=0 ∴c=－2(c=0不合題意),此時，直線l：過定點(2,0).

(3) 由題意AB的中點D(就是△OAB外接圓圓心)到原點的距離就是外接圓的半徑。

而(m²—c+)²－[(m²—c)²+m² ]=  由(2)知c=－2 

∴圓心到準線的距離大于半徑,故△OAB的外接圓與拋物線的準線相離。

【解析】略