Question

四棱錐P-ABCD的底面是邊長為a的正方形，PB⊥面ABCD，
（Ⅰ）若面PAD與面ABCD所成的二面角為60°，求這個四棱錐的體積；
（Ⅱ）證明無論四棱錐的高怎樣變化，面PAD與面PCD所成的二面角恒大于90°。

Answer 1

（Ⅰ）解：∵PB⊥面ABCD， ∴BA是PA在面ABCD上的射影， 又DA⊥AB， ∴PA⊥DA， ∴∠PAB是面PAD與面ABCD所成的二面角的平面角，∠PAB=60°， 而PB是四棱錐P-ABCD的高，PB=AB·tg60°=a， ∴。
（Ⅱ）證明：不論棱錐的高怎樣變化，棱錐側(cè)面PAD與PCD恒為全等三角形， 作AE⊥DP，垂足為E，連結(jié)EC，則△ADE≌△CDE， ∴， 故∠CEA是面PAD與面PCD所成的二面角的平面角， 設(shè)AC與DB相交于點O，連結(jié)EO，則EO⊥AC， ∴， 在△AEC中， ， 所以，面PAD與面PCD所成的二面角恒大于90°。