Question

（本小題滿分12分）已知圓C的圓心在直線y=2x上，且與直線l：x+y+1=0相切于點(diǎn)P（-1,0）.
（Ⅰ）求圓C的方程；
（Ⅱ）若A（1,0），點(diǎn)B是圓C上的動(dòng)點(diǎn)，求線段AB中點(diǎn)M的軌跡方程，并說明表示什么曲線.

Answer 1

（Ⅰ）圓C：；
（Ⅱ），表示以（1,1）為圓心，為半徑的圓.

試題分析：）設(shè)圓心C（a，b）半徑為r,要求圓心的方程需要建立關(guān)于a,b,r的三個(gè)方程，因?yàn)閳A心在直線y=2x上,所以b="2a," 又C落在過P且垂直于l的直線y=x+1上,所以b=a+1,
又因?yàn)閞=|CP|,從而可求出a,b,r的值.
(II)本小題屬于相關(guān)點(diǎn)法求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程，設(shè)M（x，y），B（x₀，y₀），則有，
可得，然后將B的坐標(biāo)代入圓C的方程即可得到M的軌跡方程，再通過方程可判斷出M的軌跡也是圓.
（Ⅰ）設(shè)圓心C（a，b）半徑為r，則有b=2a，…………………1分
又C落在過P且垂直于l的直線y=x+1上，…………………3分
故有b=a+1，解得a=1，b=2，從而r=…………………5分
∴圓C：……………………………………6分
（Ⅱ）設(shè)M（x，y），B（x₀，y₀），則有，……………………8分
解得，代入圓C方程得，…………10分
化簡(jiǎn)得……………11分
表示以（1,1）為圓心，為半徑的圓.………12分
點(diǎn)評(píng)：求圓的方程無論是設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程還是設(shè)圓的一般方程都要從題目中找到三個(gè)方程條件求解，要注意圓的幾何性質(zhì)的應(yīng)用.用相關(guān)點(diǎn)法求軌跡方程時(shí)，要注意把相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)用動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)表示出來，然后代入相關(guān)點(diǎn)所滿足的方程即可得到所求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程.