Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，以O(shè)x軸為始邊做兩個(gè)銳角α，β，它們的終邊分別與單位圓相交于A、B兩點(diǎn)，已知點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為

2 5

5

，點(diǎn)B的縱坐標(biāo)為

10

10

．
（1）求cos（α+β）的值； 
（2）求tan（α-β）的值．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)A橫坐標(biāo)及B縱坐標(biāo)確定出A縱坐標(biāo)與B橫坐標(biāo)，確定出A與B坐標(biāo)，利用任意角的三角函數(shù)定義求出sinα，sinβ，cosα，cosβ的值，原式利用兩角和與差的余弦函數(shù)公式化簡，將各自的值代入計(jì)算即可求出值；
（2）根據(jù)任意角的三角函數(shù)定義求出tanα，tanβ的值，原式利用兩角和與差的正切函數(shù)公式化簡，將各自的值代入計(jì)算即可求出值．

解答：解：（1）∵銳角α，β，它們的終邊分別與單位圓相交于A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為

2 5

5

，點(diǎn)B的縱坐標(biāo)為

10

10

，
∴A縱坐標(biāo)為

5

5

，B橫坐標(biāo)為

3 10

10

，即A（

2 5

5

，

5

5

），B（

10

10

，

3 10

10

），
∴sinα=

5

5

，cosα=

2 5

5

，sinβ=

3 10

10

，cosβ=

10

10

，
則cos（α+β）=cosαcosβ-sinαsinβ=

2 5

5

×

10

10

-

5

5

×

3 10

10

=-

2

10

；
（2）∵sinα=

5

5

，cosα=

2 5

5

，sinβ=

3 10

10

，cosβ=

10

10

，
∴tanα=

1

2

，tanβ=3，
則tan（α-β）=

tanα-tanβ

1+tanαtanβ

=

1 2 -3

1+ 1 2 ×3

=-1．

點(diǎn)評：此題考查了兩角和與差的正切函數(shù)公式，任意角的三角函數(shù)定義，以及兩角和與差的余弦函數(shù)公式，熟練掌握公式是解本題的關(guān)鍵．