Question

(本題滿分12分)

已知函數(shù),為實數(shù)，.

（Ⅰ）若在區(qū)間上的最小值、最大值分別為、1，求、的值；

（Ⅱ）在（Ⅰ）的條件下，求經(jīng)過點且與曲線相切的直線的方程；

（Ⅲ）設(shè)函數(shù)，試判斷函數(shù)的極值點個數(shù)．

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ），為所求． （Ⅱ）或．

（Ⅲ）當時，，函數(shù)為單調(diào)遞增，極值點個數(shù)為0；

當時，此時方程有兩個不相等的實數(shù)根，根據(jù)極值點的定義，

可知函數(shù)有兩個極值點．

【解析】本試題主要考查了導數(shù)在研究函數(shù)中的運用。

（1）因為函數(shù),為實數(shù)，.求解導數(shù)。判定單調(diào)性和最值，結(jié)合在區(qū)間上的最小值、最大值分別為、1得到參數(shù)、的值；

（2）在（Ⅰ）的條件下，先求解導數(shù)值，然后得到經(jīng)過點且與曲線相切的直線的方程；

（Ⅲ）設(shè)函數(shù)，函數(shù)的極值點個數(shù)就是分析單調(diào)性來得到結(jié)論。

解：（Ⅰ）由，得，．

∵，，

∴ 當時，，遞增；

當時，， 遞減．

∴ 在區(qū)間上的最大值為，∴．……………………2分

又，，∴ ．

由題意得，即，得．

故，為所求．                 ………………………………4分

（Ⅱ）解：由（1）得，，點在曲線上．

⑴ 當切點為時，切線的斜率，

∴ 的方程為，即． ……………………5分

⑵當切點不是切點時，設(shè)切點為，

切線的斜率，

∴ 的方程為 ．

又點在上，∴ ，

∴ ，

∴ ，

∴ ，即，∴．

 ∴ 切線的方程為

故所求切線的方程為或．  ………………………………8分

（Ⅲ）解： ．

∴

二次函數(shù)的判別式為

，

令，得：

令，得    ………………………………10分

∵，，

∴當時，，函數(shù)為單調(diào)遞增，極值點個數(shù)為0；

當時，此時方程有兩個不相等的實數(shù)根，根據(jù)極值點的定義，

可知函數(shù)有兩個極值點．               ………………………………12分