Question

集合A是由適合以下性質(zhì)的函數(shù)f（x）構(gòu)成的，對(duì)于任意的x＞0  y＞0且x≠y都有f（x）+2f（y）＞3f(

x+2y

3

)
（1）試判斷f₁（x）=log₂x及f₂（x）=（x+1）²是否在集合A中？并說(shuō)明理由
（2）設(shè)f（x）∈A，且定義域是（0，+∞），值域是（1，2），f(1)＞

3

2

，寫(xiě)出一個(gè)滿足上述條件的解析式；并證明此函數(shù)f（x）∈A．

Answer 1

分析：（1）集合A是由函數(shù)f（x）構(gòu)成的，把f₁（x）=log₂x及f₂（x）=（x+1）²代入條件進(jìn)行檢驗(yàn)；
（2）從第一個(gè)結(jié)論的提示，從定義域值域和不等關(guān)系找出一個(gè)適合條件的解析式．

解答：解：
（I）取x=1，y=4則
f₁（1）+2 f₁（4）=log₂1+2log₂4=log₂16，
3f(

1+2×4

3

)=3log2  3=log227＞log₂16
∴f₁（x）+2 f₁（y）＜3f1(

x+2y

3

)
∴f₁（x）∉A
任取x＞0，y＞0且x≠y，研究
f₂（x）+2 f₂（y）-=（x+1）²+2（y+1）²-3(

x+2y

3

+1)2
=

2

3

(x-y)2＞0
∴f₂（x）+2 f₂（y）＞3f2(

x+2y

3

)．
∴f₂（x）∈A

（II）設(shè)函數(shù)f（x）=(

2

3

)x+1，x∈（0，+∞），滿足其值域（1，2）
且f（1）＞

3

2

又任意取x＞0，y＞0且x≠y，則
f（x）+2 f （y）=(

2

3

)x+2(

2

3

)y+3
=(

2

3

)x+(

2

3

)y+(

2

3

)y+3＞3

3	( 2 3 )x+2y

+3=3[(

2

3

)

x+2y

3

]
=3f（

x+2y

3

）
∴f（x）∈A

點(diǎn)評(píng)：本題是一道難度較大的題，表現(xiàn)在以下幾個(gè)方面第一需要自己根據(jù)條件寫(xiě)出解析式，再進(jìn)行驗(yàn)證．第二題目給出一個(gè)抽象函數(shù)不等式要求學(xué)生檢驗(yàn)兩個(gè)已知函數(shù)式是否滿足條件，進(jìn)而驗(yàn)證這兩個(gè)函數(shù)是否是集合的元素，運(yùn)算量較大，其中用到基本不等式，這個(gè)過(guò)程不好配湊．