精英家教網(wǎng)如圖四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是平行四邊形，PG⊥平面ABCD，垂足為G，G在AD上且AG=
1
3
GD，BG⊥GC，GB=GC=2，E是BC的中點，四面體P-BCG的體積為
8
3
．
（1）求過點P，C，B，G四點的球的表面積；
（2）求直線DP到平面PBG所成角的正弦值；
（3）在棱PC上是否存在一點F，使DF⊥GC，若存在，確定點F的位置，若不存在，說明理由．
分析：（1）根據(jù)條件構(gòu)造求過點P，C，B，G四點長方體，根據(jù)長方體的體對角線和球直徑之間的關(guān)系即可求出球的表面積；
（2）根據(jù)線面所成角的定義，求出直線DP到平面PBG所成角的正弦值；
（3）根據(jù)直線垂直的性質(zhì)，即可確定F的位置．
解答：解：（1）由四面體P-BCG的體積為
8
3
．
∴PG=4
以GP，GB，GC構(gòu)造長方體，外接球的直徑為長方體的體對角線．
∴（2R）2=16+4+4，
∴R=
6

∴V=4π×6=24π．
（2）由GB=GC=2精英家教網(wǎng)
∴△BGC為等腰三角形，GE為∠BGC的角平分線，
作DK⊥BG交BG的延長線于K，
∴DK⊥面BPG．由平面幾何知識可知：DK=GK=
3
2
PD=
41
2
，
設(shè)直線DP與平面PBG所成角為α
∴sinα=
DK
DP
=
3
82
82
．
（3）∵GB，GC，GP兩兩垂直，分別以GB，GC，GP為x，y，z軸建立坐標系
假設(shè)F存在且設(shè)F（0，y，4-2y）（0＜y＜2）
∵D(-
3
2
，
3
2
，0)，G(0，0，0)，C(0，2，0)
∴
DF
=(
3
2
，y-
3
2
，4-2y)，
GC
=(0，2，0)，
又直線DF與GC所成的角為900
∴cos900=
|
DF
•
GC
|
|
DF
||
GC
|
=
|2y-3|
|
DF
||
GC
|
=0
∴y=
3
2

∴當
CF
CP
=
1
4
時滿足條件．
點評：本題主要考查空間球表面積求法，以及直線和平面所成角的求法，要求熟練掌握相應(yīng)的公式和定理性質(zhì)．
練習(xí)冊系列答案
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知如圖四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是平行四邊形，PG⊥平面ABC，垂足G在AD上，且AG=
1
3
GD，GB⊥GC．GB=GC=2，PG=4，E是BC的中點．
（1）求證：PC⊥BG；
（2）求異面直線GE與PC所成角的余弦值；
（3）若F是PC上一點，且DF⊥GC，求
CF
CP
的值．

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如圖四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是平行四邊形，∠ABC=90°，PA⊥平面ABCD，PA=BC=1，AB=，F(xiàn)是BC的中點.
(1)求證：DA⊥平面PAC；
(2)試在線段PD上確定一點G，使CG∥平面PAF，并求三棱錐A-CDG的體積.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：浙江省模擬題 題型：解答題

已知如圖四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是平行四邊形，PG⊥平面ABC，垂足G在AD上，且AG=GD，GB⊥GC，GB=GC=2，PC=4，E是BC的中點．
(Ⅰ)求證：PC⊥BG；
(Ⅱ)求異面直線GE與PC所成角的余弦值；
(Ⅲ)若F是PC上一點，且DF⊥GC，求的值。

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

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(2)直線PC與AB所成角的大小.

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已知如圖四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是平行四邊形，PG⊥平面ABC，垂足G在AD上，且，E是BC的中點．
（1）求證：PC⊥BG；
（2）求異面直線GE與PC所成角的余弦值；
（3）若F是PC上一點，且的值．

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