Question

【題目】某公司為了解廣告投入對(duì)銷售收益的影響，在若干地區(qū)各投入萬(wàn)元廣告費(fèi)用，并將各地的銷售收益繪制成頻率分布直方圖（如圖所示）．由于工作人員操作失誤，橫軸的數(shù)據(jù)丟失，但可以確定橫軸是從開(kāi)始計(jì)數(shù)的．

（Ⅰ）根據(jù)頻率分布直方圖計(jì)算圖中各小長(zhǎng)方形的寬度；

（Ⅱ）估計(jì)該公司投入萬(wàn)元廣告費(fèi)用之后，對(duì)應(yīng)銷售收益的平均值（以各組的區(qū)間中點(diǎn)值代表該組的取值）；

（Ⅲ）該公司按照類似的研究方法，測(cè)得另外一些數(shù)據(jù)，并整理得到下表：

廣告投入x（單位：萬(wàn)元）	1	2	3	4	5
銷售收益y（單位：萬(wàn)元）	2	3	2		7

表中的數(shù)據(jù)顯示，與之間存在線性相關(guān)關(guān)系，請(qǐng)將（Ⅱ）的結(jié)果填入空白欄，并計(jì)算關(guān)于的回歸方程．

回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計(jì)公式分別為．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）；（Ⅲ），．

【解析】

試題分析：（Ⅰ）由頻率分布直方圖各小長(zhǎng)方形面積總和為，可計(jì)算小長(zhǎng)方形的寬度；（Ⅱ）平均值為各組的區(qū)間中點(diǎn)值與對(duì)應(yīng)組頻率乘積之和，由此可求平均值的估計(jì)值；（Ⅲ）首先由（Ⅱ）求得空白處應(yīng)為，由此計(jì)算，然后結(jié)合所給公式求，從而求出回歸直線方程．

試題解析：（Ⅰ）設(shè)各小長(zhǎng)方形的寬度為，由頻率分布直方圖各小長(zhǎng)方形面積總和為1，可知

，故．

（Ⅱ）由（Ⅰ）知各小組依次是，

其中點(diǎn)分別為，

對(duì)應(yīng)的頻率分別為，

故可估計(jì)平均值為．

（Ⅲ）空白欄中填5．

由題意可知，，，

，，

根據(jù)公式，可求得，，

即回歸直線的方程為．