Question

【題目】A、B是治療同一種疾病的兩種藥，用若干試驗(yàn)組進(jìn)行對(duì)比試驗(yàn)．每個(gè)試驗(yàn)組由4只小白鼠組成，其中2只服用A，另2只服用B，然后觀(guān)察療效．若在一個(gè)試驗(yàn)組中，服用A有效的小白鼠的只數(shù)比服用B有效的多，就稱(chēng)該試驗(yàn)組為甲類(lèi)組．設(shè)每只小白鼠服用A有效的概率為 ，服用B有效的概率為 ．
（Ⅰ）求一個(gè)試驗(yàn)組為甲類(lèi)組的概率；
（Ⅱ）觀(guān)察3個(gè)試驗(yàn)組，用ξ表示這3個(gè)試驗(yàn)組中甲類(lèi)組的個(gè)數(shù)，求ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

【答案】解：（1）設(shè)Ai表示事件“一個(gè)試驗(yàn)組中，服用A有效的小鼠有i只“，i=0，1，2， Bi表示事件“一個(gè)試驗(yàn)組中，服用B有效的小鼠有i只“，i=0，1，2，
依題意有：P（A1）=2× × = ，P（A2）= × = ．P（B0）= × = ，
P（B1）=2× × = ，所求概率為：
P=P（B0A1）+P（B0A2）+P（B1A2）
= × + × + × =
（Ⅱ）ξ的可能值為0，1，2，3且ξ～B（3， ）．
P（ξ=0）=（ ）3= ，
P（ξ=1）=C31× ×（ ）2= ，
P（ξ=2）=C32×（ ）2× = ，
P（ξ=3）=（ ）3=
∴ξ的分布列為：

ξ	0	1	2	3
P

∴數(shù)學(xué)期望Eξ=3× =
【解析】（1）由題意知本題是一個(gè)獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)，根據(jù)所給的兩種藥物對(duì)小白鼠有效的概率，計(jì)算出小白鼠有效的只數(shù)的概率，對(duì)兩種藥物有效的小白鼠進(jìn)行比較，得到甲類(lèi)組的概率．（2）由題意知本試驗(yàn)是一個(gè)甲類(lèi)組的概率不變，實(shí)驗(yàn)的條件不變，可以看做是一個(gè)獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)，所以變量服從二項(xiàng)分布，根據(jù)二項(xiàng)分布的性質(zhì)寫(xiě)出分布列和期望．
【考點(diǎn)精析】認(rèn)真審題，首先需要了解離散型隨機(jī)變量及其分布列(在射擊、產(chǎn)品檢驗(yàn)等例子中，對(duì)于隨機(jī)變量X可能取的值，我們可以按一定次序一一列出，這樣的隨機(jī)變量叫做離散型隨機(jī)變量．離散型隨機(jī)變量的分布列：一般的,設(shè)離散型隨機(jī)變量X可能取的值為x1,x2,.....,xi,......,xn，X取每一個(gè)值 xi(i=1,2,......）的概率P(ξ=xi）＝Pi，則稱(chēng)表為離散型隨機(jī)變量X 的概率分布，簡(jiǎn)稱(chēng)分布列)．