Question

【題目】已知函數(shù)，.

（1）函數(shù)在點處的切線的斜率為2，求的值；

（2）討論函數(shù)的單調(diào)性；

（3）若函數(shù)有兩個不同極值點為、，證明：.

Answer 1

【答案】（1）；（2）當時，在單調(diào)遞增；當時，在，單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減；（3）證明見解析

【解析】

（1）求出導函數(shù)，利用導數(shù)的幾何意義即可求解.

（2）令，化簡，判別式，討論的正負，從而確定的正負，利用導數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關系即可求解.

（3）由（2）可知，，，由，，求出，利用換元法令，將不等式轉(zhuǎn)化為，不妨設，利用導數(shù)證出函數(shù)在單調(diào)遞增，由即可證出.

（1），，∴

（2）令即，

當時，，，在單調(diào)遞增

當時，，，，

，，

在，單調(diào)遞增

在單調(diào)遞減.

（3）由（2）可知，，，

，

令

則，只需證明

，（只需證明即可）

，

∴，在單調(diào)遞增

，得證.