Question

【題目】已知底面為邊長為2的正方形，側棱長為1的直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，P是面A1B1C1D1上的動點．給出以下四個結論中，正確的個數是（ ） ①與點D距離為 的點P形成一條曲線，則該曲線的長度是 ；
②若DP∥面ACB1 ， 則DP與面ACC1A1所成角的正切值取值范圍是 ；
③若 ，則DP在該四棱柱六個面上的正投影長度之和的最大值為 ．
A.0
B.1
C.2
D.3

Answer 1

【答案】C
【解析】解：如圖，①正確，與點D距離為 的點P形成以D1為圓心，半徑為 的 圓弧MN，長度為 = ； ②錯誤，因為面A1DC1∥面ACB1 ， 所以點P必須在面對角線A1C1上運動，當P在A1（或C1）時，DP與面ACC1A1所成角∠DA1O（或∠DC1O）的正切值為 最小，當P在O1時，DP與面ACC1A1所成角∠DO1O的正切值為 最大，所以正切值取值范圍是 ；
③正確，設P（x，y，1），則x2+y2+1=3，即x2+y2=2，DP在前后、左右、上下面上的正投影長分別為 ，所以六個面上的正投影長度之和為 ，當且僅當P在O1時取等號．
故選C．