Question

11、對(duì)于二項(xiàng)式（1-x）¹⁹⁹⁹，有下列四個(gè)命題：
①展開式中T₁₀₀₀=-C₁₉₉₉¹⁰⁰⁰x⁹⁹⁹；  
 ②展開式中非常數(shù)項(xiàng)系數(shù)和是1；
③展開式中系數(shù)最大的項(xiàng)是第1000項(xiàng)和第1001項(xiàng)；
④當(dāng)x=2000時(shí)，（1-x）¹⁹⁹⁹除以2000的余數(shù)是1．其中正確命題的序號(hào)是

④

．

Answer 1

分析：利用二項(xiàng)式項(xiàng)的公式T_r+1=C_n^ra^n-rb^r，及二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)對(duì)四個(gè)命題逐一判斷，判斷出正確命題．

解答：解：對(duì)于二項(xiàng)式（1-x）¹⁹⁹⁹，二項(xiàng)式項(xiàng)的公式T_r+1=C_n^r1^n-r（-1）^r，
對(duì)于命題①，T₁₀₀₀=C₁₉₉₉⁹⁹⁹1¹⁰⁰⁰（-x）⁹⁹⁹，=-C₁₉₉₉⁹⁹⁹x⁹⁹⁹，故此命題不正確；
對(duì)于命題②展開式中非常數(shù)項(xiàng)系數(shù)和是-1，故命題不正確；
對(duì)于命題③展開式中系數(shù)最大的項(xiàng)是第1000項(xiàng)和第1001項(xiàng)不正確，因?yàn)橄噜彾��?xiàng)一正一負(fù)，故不可能同時(shí)是系數(shù)最大項(xiàng)；
對(duì)于命題當(dāng)x=2000時(shí)，（1-x）¹⁹⁹⁹除以2000的余數(shù)是1是正確的，因?yàn)檎归_式中不含有2000的項(xiàng)是1，故當(dāng)x=2000時(shí)，（1-x）¹⁹⁹⁹除以2000的余數(shù)是1是正確的．
故答案為：④．

點(diǎn)評(píng)：本題考查二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)以及二項(xiàng)式展開式的項(xiàng)的公式，由這些知識(shí)對(duì)四個(gè)命題進(jìn)行判斷，本題考查了運(yùn)用知識(shí)進(jìn)行推理論證的能力．