Question

在一次代號(hào)為“東方雄師”的軍事演習(xí)中，紅軍派出甲、乙兩架轟炸機(jī)對(duì)藍(lán)軍的同一地面目標(biāo)進(jìn)行轟炸，已知甲轟炸機(jī)投彈1次命中目標(biāo)的概率為

2

3

，乙轟炸機(jī)投彈1次命中目標(biāo)的概率為

1

2

，兩機(jī)投彈互不影響，每機(jī)各投彈2次，2次投彈之間互不影響．
（1）若至少2次投彈命中才能摧毀這個(gè)地面目標(biāo)，求目標(biāo)被摧毀的概率；
（2）記目標(biāo)被命中的次數(shù)為隨機(jī)變量ξ，求ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

分析：（1）由題意設(shè)A_k表示甲轟炸機(jī)命中目標(biāo)k次，k=0，1，2，B_l表示乙轟炸機(jī)命中目標(biāo)l次，l=0，1，2，則A_k，B_l相互獨(dú)立．由獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中事件發(fā)生的概率公式即可求得；
（2）由于記目標(biāo)被命中的次數(shù)為隨機(jī)變量ξ，利用題意可知ξ的所有可能值為0，1，2，3，4，利用隨機(jī)變量的定義及其分布列的定義即可求解其期望．

解答：解：設(shè)A_k表示甲轟炸機(jī)命中目標(biāo)k次，k=0，1，2，B_l表示乙轟炸機(jī)命中目標(biāo)l次，l=0，1，2，則A_k，B_l相互獨(dú)立．由獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中事件發(fā)生的概率公式有
P（A_k）=C₂^k（

2

3

）^k（

1

3

）^2-k，P（B_l）=C₂^t（

1

2

）^l（

1

2

）^2-l．
據(jù)此算得P（A₀）=

1

9

，P（A₁）=

4

9

，P（A₂）=

4

9

．P（B₀）=

1

4

，P（B₁）=

1

2

，P（B₂）=

1

4

．
（1）所求概率為1-P（A₀B₀+A₀B₁+A₁B₀）=1-（

1

9

×

1

4

+

1

9

×

1

2

+

4

9

×

1

4

）=1-

7

36

=

29

36

．
（2）ξ的所有可能值為0，1，2，3，4，則
P（ξ=0）=P（A₀B₀）=

1

9

×

1

4

=

1

36

，
P（ξ=1）=P（A₀B₁）+P（A₁B₀）=

1

9

×

1

2

+

4

9

×

1

4

=

1

6

，
P（ξ=2）=P（A₀B₂）+P（A₁B₁）+P（A₂B₀）=

1

9

×

1

4

+

4

9

×

1

2

+

4

9

×

1

4

=

13

36

，
P（ξ=3）=P（A₁B₂）+P（A₂B₁）=

4

9

×

1

4

+

4

9

×

1

2

=

1

3

，
P（ξ=4）=P（A₂B₂）=

4

9

×

1

4

=

1

9

．
綜上知，ξ的分布列為

ξ	0	1	2	3	4
P	1 36	1 6	13 36	1 3	1 9

從而，ξ的數(shù)學(xué)期望Eξ=0×

1

36

+1×

1

6

+2×

13

36

+3×

1

3

+4×

1

9

=

7

3

．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了學(xué)生對(duì)于題意的理解能力，獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率公式，離散型隨機(jī)變量的定義及離散型隨機(jī)變量的分布列及期望，還考查了學(xué)生的計(jì)算能力．