Question

已知公差d大于零的等差數(shù)列{a_n}（n∈N^*）的前n項(xiàng)和為S_n，且滿足：a₃?a₄=35，S₃=9．
（1）求通項(xiàng)a_n；
（2）當(dāng)a₁b₁+a₂b₂+a₃b₃+…+a_nb_n=（2n-3）•2ⁿ+4（n∈N^*），求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

解：（1）由已知，解得a₁=1，d=2，
∴a_n=2n-1
（2）由題意a₁b₁+a₂b₂+a₃b₃+…+a_nb_n=（2n-3）•2ⁿ+4①
可得a₁b₁+a₂b₂+a₃b₃+…+a_nb_n +a_n+1b _n+1=[2（n+1）-3]•2ⁿ⁺¹+4②
②-①得a_n+1b_n+1=2ⁿ（2n+1），又a_n+1=2n+1
∴b_n+1=2ⁿ，
又a₁b₁=（2-3）•2+4=2，可得b₁=2，故b_n=．
數(shù)列{b_n}是從第二項(xiàng)開始以b₂=2為首項(xiàng)，以2為公比的等比數(shù)列，首項(xiàng)b₁=2，
T_n=2+2×=2ⁿ
分析：（1）利用等差數(shù)列通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和公式 列出關(guān)于a₁，d方程組并解出a₁，d后，即可求出通項(xiàng)a_n．
（2）由a₁b₁+a₂b₂+a₃b₃+…+a_nb_n=（2n-3）•2ⁿ+4①得出a₁b₁+a₂b₂+a₃b₃+…+a_nb_n +a_n+1b _n+1=[2{n+1）-3]•2ⁿ⁺¹+4②
兩式相減，求出 b_n=2 ^n-1．再利用等比數(shù)列求和公式計(jì)算．
點(diǎn)評(píng)：本題考查等差數(shù)列通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和公式，等比數(shù)列的判定及前n項(xiàng)和公式．對(duì)a₁b₁+a₂b₂+a₃b₃+…+a_nb_n=（2n-3）•2ⁿ+4 看作數(shù)列{a_nb_n}和的表達(dá)式，類比于數(shù)列中a_n 與 Sn的關(guān)系，求出a_n+1b _n+1=2n（2n+1），b_n+1=2ⁿ是關(guān)鍵．