【題目】為了對(duì)2016年某校中考成績(jī)進(jìn)行分析,在60分以上的全體同學(xué)中隨機(jī)抽出8位,他們的數(shù)學(xué)分?jǐn)?shù)(已折算為百分制)從小到大排是60、65、70、75、80、85、90、95,物理分?jǐn)?shù)從小到大排是72、77、80、84、88、90、93、95. 參考公式:相關(guān)系數(shù) ,
回歸直線方程是: ,其中 ,
參考數(shù)據(jù): , , , .
(1)若規(guī)定85分以上為優(yōu)秀,求這8位同學(xué)中恰有3位同學(xué)的數(shù)學(xué)和物理分?jǐn)?shù)均為優(yōu)秀的概率;
(2)若這8位同學(xué)的數(shù)學(xué)、物理、化學(xué)分?jǐn)?shù)事實(shí)上對(duì)應(yīng)如下表:
學(xué)生編號(hào) | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 |
數(shù)學(xué)分?jǐn)?shù)x | 60 | 65 | 70 | 75 | 80 | 85 | 90 | 95 |
物理分?jǐn)?shù)y | 72 | 77 | 80 | 84 | 88 | 90 | 93 | 95 |
化學(xué)分?jǐn)?shù)z | 67 | 72 | 76 | 80 | 84 | 87 | 90 | 92 |
①用變量y與x、z與x的相關(guān)系數(shù)說(shuō)明物理與數(shù)學(xué)、化學(xué)與數(shù)學(xué)的相關(guān)程度;
②求y與x、z與x的線性回歸方程(系數(shù)精確到0.01),當(dāng)某同學(xué)的數(shù)學(xué)成績(jī)?yōu)?0分時(shí),估計(jì)其物理、化學(xué)兩科的得分.
【答案】
(1)解:這8位同學(xué)中恰有3位同學(xué)的數(shù)學(xué)和物理分?jǐn)?shù)均為優(yōu)秀,
則需要先從物理4 個(gè)優(yōu)秀分?jǐn)?shù)中選出3個(gè)與數(shù)學(xué)分?jǐn)?shù)對(duì)應(yīng),
不同的種數(shù)是 (或 ),
然后剩下的5個(gè)數(shù)學(xué)分?jǐn)?shù)和物理分?jǐn)?shù)任意對(duì)應(yīng),不同的種數(shù)是 ;
根據(jù)乘法原理,滿足條件的不同種數(shù)是 ;
這8位同學(xué)的物理分?jǐn)?shù)和數(shù)學(xué)分?jǐn)?shù)分別對(duì)應(yīng)種數(shù)共有 ,
故所求的概率為
(2)解:①變量y與x、z與x的相關(guān)系數(shù)分別是
,
可以看出:物理與數(shù)學(xué)、化學(xué)與數(shù)學(xué)成績(jī)都是高度正相關(guān);
②設(shè)y與x、z與x的線性回歸方程分別是 ,
根據(jù)所給的數(shù)據(jù),計(jì)算出
,
,
所以y與x、z與x的回歸方程分別是
、 ,
當(dāng)x=50時(shí), ,
∴當(dāng)該生的數(shù)學(xué)為50分時(shí),其物理、化學(xué)成績(jī)分別約為66.85分、61.2分
【解析】(1)求出從這8位同學(xué)中恰有3位同學(xué)的數(shù)學(xué)和物理分?jǐn)?shù)均為優(yōu)秀的基本事件數(shù),以及這8位同學(xué)的物理分?jǐn)?shù)和數(shù)學(xué)分?jǐn)?shù)分別對(duì)應(yīng)基本事件數(shù),計(jì)算所求的概率值(2)①變量y與x、z與x的相關(guān)系數(shù),得出物理與數(shù)學(xué)、化學(xué)與數(shù)學(xué)成績(jī)都是高度正相關(guān);②求出y與x、z與x的線性回歸方程,由此計(jì)算x=50時(shí)y與z的值即可.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù),若在定義域內(nèi)存在,使得成立,則稱為函數(shù)的局部對(duì)稱點(diǎn).
(1)若,證明:函數(shù)必有局部對(duì)稱點(diǎn);
(2)若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有局部對(duì)稱點(diǎn),求實(shí)數(shù)的取值范圍;
(3)若函數(shù)在上有局部對(duì)稱點(diǎn),求實(shí)數(shù)的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在三棱柱ABC﹣A1B1C1中,D,E分別是B1C1、BC的中點(diǎn),∠BAC=90°,AB=AC=2,A1A=4,A1E= .
(Ⅰ)證明:A1D⊥平面A1BC;
(Ⅱ)求二面角A﹣BD﹣B1的平面角的正弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知數(shù)列滿足,.
(Ⅰ)證明:是等比數(shù)列;
(Ⅱ)證明:數(shù)列中的任意三項(xiàng)不為等差數(shù)列;
(Ⅲ)證明:.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】中國(guó)傳統(tǒng)文化中很多內(nèi)容體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的對(duì)稱美,如圖所示的太極圖是由黑白兩個(gè)魚形紋組成的圓形圖案,充分展現(xiàn)了相互轉(zhuǎn)化、對(duì)稱統(tǒng)一的形式美、和諧美,給出定義:能夠?qū)AO的周長(zhǎng)和面積同時(shí)平分的函數(shù)稱為這個(gè)圓的“優(yōu)美函數(shù)”,給出下列命題:
①對(duì)于任意一個(gè)圓O,其“優(yōu)美函數(shù)“有無(wú)數(shù)個(gè)”;
②函數(shù) 可以是某個(gè)圓的“優(yōu)美函數(shù)”;
③正弦函數(shù)y=sinx可以同時(shí)是無(wú)數(shù)個(gè)圓的“優(yōu)美函數(shù)”;
④函數(shù)y=f(x)是“優(yōu)美函數(shù)”的充要條件為函數(shù)y=f(x)的圖象是中心對(duì)稱圖形.
其中正確的命題是( )
A.①③
B.①③④
C.②③
D.①④
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知f(x)是定義在R上的偶函數(shù),當(dāng)x≥0時(shí),f(x)=x2–2x+2.
(1)求函數(shù)f(x)的解析式;
(2)當(dāng)x∈[m,n]時(shí),f(x)的取值范圍為[2m,2n],試求實(shí)數(shù)m,n的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】設(shè)函數(shù).
(1)若,且,求的最小值;
(2)若,且在上恒成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知曲線C的極坐標(biāo)方程是ρ=2,以極點(diǎn)為原點(diǎn),極軸為x軸的正半軸建立平面直角坐標(biāo)系,直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù)).
(1)寫出直線l的普通方程與曲線C的直角坐標(biāo)方程;
(2)設(shè)曲線C經(jīng)過(guò)伸縮變換得到曲線,設(shè)M(x,y)為上任意一點(diǎn),求的最小值,并求相應(yīng)的點(diǎn)M的坐標(biāo).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某貧困地區(qū)有1500戶居民,其中平原地區(qū)1050戶,山區(qū)450戶,為調(diào)查該地區(qū)2017年家庭收入情況,從而更好地實(shí)施“精準(zhǔn)扶貧”,采用分層抽樣的方法,收集了150戶家庭2017年年收入的樣本數(shù)據(jù)(單位:萬(wàn)元)
(I)應(yīng)收集多少戶山區(qū)家庭的樣本數(shù)據(jù)?
(Ⅱ)根據(jù)這150個(gè)樣本數(shù)據(jù),得到2017年家庭收入的頻率分布直方圖(如圖所示),其中樣本數(shù)據(jù)分組區(qū)間為, , , ,,.如果將頻率率視為概率,估計(jì)該地區(qū)2017年家庭收入超過(guò)1.5萬(wàn)元的概率;
(Ⅲ)樣本數(shù)據(jù)中,由5戶山區(qū)家庭的年收入超過(guò)2萬(wàn)元,請(qǐng)完成2017年家庭收入與地區(qū)的列聯(lián)表,并判斷是否有90%的把握認(rèn)為“該地區(qū)2017年家庭年收入與地區(qū)有關(guān)”?
附:
0.100 | 0.050 | 0.010 | 0.001 | |
2.706 | 3.841 | 6.635 | 10.828 |
超過(guò)2萬(wàn)元 | 不超過(guò)2萬(wàn)元 | 總計(jì) | |
平原地區(qū) | |||
山區(qū) | 5 | ||
總計(jì) |
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