Question

【題目】在如圖所示的幾何體中，正方形所在的平面與正三角形所在的平面互相垂直， ，且， 是的中點(diǎn)．

（1）求證： 平面；

（2）求面與面所成銳二面角的大小．

Answer 1

【答案】(1)見解析(2) 60°

【解析】試題分析：

（1）連接AE交BF于點(diǎn)N，連接MN，MN∥AD，由此能證明AD∥平面BFM．（2）推導(dǎo)出BE⊥AB，從而BE⊥平面ABC，取BC的中點(diǎn)O，連接OM，以O為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出二面角E-BM-F的余弦值．

解析：

（1）證明：

連接交于點(diǎn)，連接，

因?yàn)?/span>是正方形，所以是的中點(diǎn)，

又是的中點(diǎn)，所以，

因?yàn)?/span>平面平面，

所以平面；

（2）解法一：

因?yàn)?/span>是正方形，所以，因?yàn)槠矫?/span>平面，平面平面，所以平面，因?yàn)?/span>，所以取的中點(diǎn)．連接，則平面，因?yàn)?/span>是正三角形，所以，

所以以為坐標(biāo)原點(diǎn)， 所在直線為軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系：設(shè)，

則，

，

設(shè)面的法向量為，

則，

令，則，

∴，

設(shè)面的法向量為，則

，

令，則， ∴，

，因?yàn)榍竺?/span>與面所成銳二面角， ∴平面與平面所成二面角的平面角為60°．

（2）解法二：

因?yàn)橹本�，所以面與面的交線與之平行，即，

分別取的中點(diǎn)，連，

因?yàn)?/span>，且，根據(jù)射影定理，所以，

所以，

所以，

所以為所求銳二面角的平面角，

設(shè)，則，

所以，

所以為正三角形，所以，

所以為所示銳二面角為60°．