【題目】已知橢圓過點(diǎn)，且其離心率為，過坐標(biāo)原點(diǎn)作兩條互相垂直的射線與橢圓分別相交于，兩點(diǎn).

（1）求橢圓的方程；

（2）是否存在圓心在原點(diǎn)的定圓與直線總相切？若存在，求定圓的方程；若不存在，請說明理由.

【答案】（1）（2）存在；定圓

【解析】

(1)根據(jù)橢圓的離心率和橢圓經(jīng)過的點(diǎn)的坐標(biāo),代入橢圓方程中,求出a、b,即可得到橢圓C的方程.
(2)根據(jù)條件，分直線的斜率不存在和直線的斜率不存在兩種情況分別求出定圓的方程，,當(dāng)直線的斜率存在時,設(shè)直線方程為,聯(lián)立方程組,令，,利用韋達(dá)定理,結(jié)合.推出,利用直線與圓相切,求出圓的半徑,得到圓的方程,即可得到結(jié)果.

解：（1）橢圓經(jīng)過點(diǎn)，∴，又∵，解之得，.

所以橢圓的方程為；

（2）當(dāng)直線的斜率不存在時，由對稱性，設(shè)，.

∵，在橢圓上，∴，∴.

∴到直線的距離為，所以.

當(dāng)直線的斜率存在時，設(shè)的方程為，

由得.

設(shè)，，則，.

∵，∴，

∴.

∴，即.

∴到直線的距離為，

故存在定圓與直線總相切.

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】某公司為了對某種商品進(jìn)行合理定價，需了解該商品的月銷售量（單位：萬件）與月銷售單價（單位：元/件）之間的關(guān)系，對近個月的月銷售量和月銷售單價數(shù)據(jù)進(jìn)行了統(tǒng)計(jì)分析，得到一組檢測數(shù)據(jù)如表所示：

月銷售單價（元/件）

月銷售量（萬件）

（1）若用線性回歸模型擬合與之間的關(guān)系，現(xiàn)有甲、乙、丙三位實(shí)習(xí)員工求得回歸直線方程分別為：，和，其中有且僅有一位實(shí)習(xí)員工的計(jì)算結(jié)果是正確的．請結(jié)合統(tǒng)計(jì)學(xué)的相關(guān)知識，判斷哪位實(shí)習(xí)員工的計(jì)算結(jié)果是正確的，并說明理由；

（2）若用模型擬合與之間的關(guān)系，可得回歸方程為，經(jīng)計(jì)算該模型和（1）中正確的線性回歸模型的相關(guān)指數(shù)分別為和，請用說明哪個回歸模型的擬合效果更好；

（3）已知該商品的月銷售額為（單位：萬元），利用（2）中的結(jié)果回答問題：當(dāng)月銷售單價為何值時，商品的月銷售額預(yù)報(bào)值最大？（精確到）

參考數(shù)據(jù)：.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】設(shè)函數(shù)．

（1）求函數(shù)的最小值；

（2）設(shè)，討論函數(shù)的單調(diào)性；

（3）斜率為的直線與曲線交于、兩點(diǎn)，

求證：

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知橢圓的左右焦點(diǎn)分別為，且.過橢圓的右焦點(diǎn)作長軸的垂線與橢圓，在第一象限交于點(diǎn)，且滿足.

（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）若矩形的四條邊均與橢圓相切，求該矩形面積的取值范圍.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)，，則方程所有根的和等于（ ）

A.1B.2C.3D.4

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖，拋物線的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線為，交x軸于點(diǎn)A，并截圓所得弦長為，M為平面內(nèi)動點(diǎn)，△MAF周長為6．

（1）求拋物線方程以及點(diǎn)M的軌跡的方程；

（2）“過軌跡的一個焦點(diǎn)作與軸不垂直的任意直線”交軌跡于兩點(diǎn)，線段的垂直平分線交軸于點(diǎn)，則為定值，且定值是”.命題中涉及了這么幾個要素：給定的圓錐曲線，過該圓錐曲線焦點(diǎn)的弦，的垂直平分線與焦點(diǎn)所在的對稱軸的焦點(diǎn)，的長度與、兩點(diǎn)間距離的比值.試類比上述命題，寫出一個關(guān)于拋物線的類似的正確命題，并加以證明.

（3）試推廣（2）中的命題，寫出關(guān)于拋物線的一般性命題（不必證明）.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】在某次投籃測試中，有兩種投籃方案：方案甲：先在A點(diǎn)投籃一次，以后都在B點(diǎn)投籃；方案乙：始終在B點(diǎn)投籃.每次投籃之間相互獨(dú)立.某選手在A點(diǎn)命中的概率為，命中一次記3分，沒有命中得0分；在B點(diǎn)命中的概率為，命中一次記2分，沒有命中得0分，用隨機(jī)變量表示該選手一次投籃測試的累計(jì)得分，如果的值不低于3分，則認(rèn)為其通過測試并停止投籃，否則繼續(xù)投籃，但一次測試最多投籃3次.

（1）若該選手選擇方案甲，求測試結(jié)束后所得分的分布列和數(shù)學(xué)期望.

（2）試問該選手選擇哪種方案通過測試的可能性較大？請說明理由.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知，，其中常數(shù)．

（1）當(dāng)時，求函數(shù)的極值；

（2）若函數(shù)有兩個零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的范圍；

（3）設(shè)，在區(qū)間內(nèi)是否存在區(qū)間，使函數(shù)在區(qū)間的值域也是？請給出結(jié)論，并說明理由.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖①：在平行四邊形中,,,將沿對角線折起,使,連結(jié),得到如圖②所示三棱錐.

（1）證明：平面；

（2）若,二面角的平面角的正切值為,求直線與平面所成角的正弦值.

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