Question

如圖，設(shè)A，B分別為橢圓的右頂點(diǎn)和上頂點(diǎn)，過原點(diǎn)O作直線交線段AB于點(diǎn)M（異于點(diǎn)A，B），交橢圓于C，D兩點(diǎn)（點(diǎn)C在第一象限內(nèi)），△ABC和△ABD的面積分別為S₁與S₂．
（1）若M是線段AB的中點(diǎn)，直線OM的方程為，求橢圓的離心率；
（2）當(dāng)點(diǎn)M在線段AB上運(yùn)動時，求的最大值．

Answer 1

【答案】分析：（1）由中點(diǎn)坐標(biāo)公式求出A，B的中點(diǎn)M，把M坐標(biāo)代入直線y=得到a與b的關(guān)系，結(jié)合a²=b²+c²可求橢圓的離心率；
（2）設(shè)出C和D點(diǎn)的坐標(biāo)，求出直線AB的方程，由點(diǎn)到直線的距離公式求出C和D到直線AB的距離，因?yàn)椤鰽BC和△ABD同底，所以把兩個三角形的面積比轉(zhuǎn)化為C，D到直線AB的距離比，然后借助于基本不等式求最小值．
解答：解：（1）由題設(shè)，得A（a，0），B（0，b），則點(diǎn)M（）．
因?yàn)辄c(diǎn)M在直線y=上，所以，則b=．
從而，
故橢圓的離心率e=．
（2）設(shè)C（x，y）（x＞0，y＞0），則，D（-x，-y）．
由題設(shè)，直線AB的方程為，即ax+by-ab=0．
因?yàn)辄c(diǎn)C在直線AB的上方，
所以點(diǎn)C到直線AB的距離=．
同理可得點(diǎn)D到直線AB的距離=．
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131025124451704593645/SYS201310251244517045936017_DA/13.png">，即，且bx＞0，ay＞0．
所以=．
當(dāng)且僅當(dāng)bx=ay時等號成立．
由，得．
因此，．
所以，當(dāng)時，取得最大值，最大值為3-2．
點(diǎn)評：本題考查了橢圓的簡單幾何性質(zhì)，考查了直線與圓錐曲線的關(guān)系，突出考查了數(shù)形結(jié)合和等價轉(zhuǎn)化等數(shù)學(xué)思想方法，解答此題的關(guān)鍵是運(yùn)用線性規(guī)劃的知識去掉點(diǎn)到直線的距離中的絕對值．屬難題．