【題目】如圖，三棱錐D-ABC中，，E，F分別為DB，AB的中點(diǎn)，且.

（1）求證：平面平面ABC；

（2）求二面角D-CE-F的余弦值.

【答案】(1)證明見解析；(2) .

【解析】

（1）取的中點(diǎn)，可得，，從而得到平面，得到，由，，得到，從而得到平面，所以平面平面；（2）以為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，利用余弦定理和勾股定理，得到，，得到的法向量，平面的法向量，根據(jù)向量夾角的余弦公式，得到二面角的余弦值

（1）如圖取的中點(diǎn)，連接，，

因?yàn)?/span>，所以，

因?yàn)?/span>，所以，

又因?yàn)?/span>，所以平面，

平面

所以.

因?yàn)?/span>，分別為，的中點(diǎn)，所以.

因?yàn)?/span>，即，

則.

又因?yàn)?/span>，

所以平面，

又因?yàn)?/span>平面DAB，

所以平面平面.

（2）因?yàn)?/span>平面，則以為坐標(biāo)原點(diǎn)，

過點(diǎn)與垂直的直線為軸，為軸，AD為軸，

建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系.

因?yàn)?/span>，

在中，

，

所以.

在中，，

所以點(diǎn)，，

.

設(shè)平面的法向量為

.

所以，即，

可取.

設(shè)平面的法向量為

.

所以，即，

可取，

則

因?yàn)槎娼?/span>為鈍二面角，所以二面角的余弦值為.

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】某汽車生產(chǎn)廠家為了解某型號(hào)電動(dòng)汽車的“實(shí)際平均續(xù)航里程數(shù)”，收集了使用該型號(hào)電動(dòng)汽車年以上的部分客戶的相關(guān)數(shù)據(jù)，得到他們的電動(dòng)汽車的“實(shí)際平均續(xù)航里程數(shù)”．從年齡在40歲以下的客戶中抽取10位歸為A組，從年齡在40歲（含40歲）以上的客戶中抽取10位歸為B組，將他們的電動(dòng)汽車的“實(shí)際平均續(xù)航里程數(shù)”整理成下圖，其中“+”表示A組的客戶，“⊙”表示B組的客戶．

注：“實(shí)際平均續(xù)航里程數(shù)”是指電動(dòng)汽車的行駛總里程與充電次數(shù)的比值．

（Ⅰ）記A，B兩組客戶的電動(dòng)汽車的“實(shí)際平均續(xù)航里程數(shù)”的平均值分別為，，根據(jù)圖中數(shù)據(jù)，試比較，的大�。ńY(jié)論不要求證明）；

（Ⅱ）從A，B兩組客戶中隨機(jī)抽取2位，求其中至少有一位是A組的客戶的概率；

（III）如果客戶的電動(dòng)汽車的“實(shí)際平均續(xù)航里程數(shù)”不小于350，那么稱該客戶為“駕駛達(dá)人”．從A，B兩組客戶中，各隨機(jī)抽取1位，記“駕駛達(dá)人”的人數(shù)為，求隨機(jī)變量的分布列及其數(shù)學(xué)期望．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】某旅游愛好者計(jì)劃從3個(gè)亞洲國家A1，A2，A3和3個(gè)歐洲國家B1，B2，B3中選擇2個(gè)國家去旅游.

(1)若從這6個(gè)國家中任選2個(gè)，求這2個(gè)國家都是亞洲國家的概率；

(2)若從亞洲國家和歐洲國家中各選1個(gè)，求這兩個(gè)國家包括A1，但不包括B1的概率．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知數(shù)列的首項(xiàng)為1，各項(xiàng)均為正數(shù)，其前項(xiàng)和為，,.

（1）求,的值;

（2）求證：數(shù)列為等差數(shù)列；

（3）設(shè)數(shù)列滿足，，求證：.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知數(shù)列的前n項(xiàng)和， 是等差數(shù)列，且.

（Ⅰ）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；

（Ⅱ）令.求數(shù)列的前n項(xiàng)和.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知雙曲線（，）的一條漸近線方程為，點(diǎn)在雙曲線上；拋物線（）的焦點(diǎn)F與雙曲線的右焦點(diǎn)重合.

（1）求雙曲線和拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）過焦點(diǎn)F作一條直線l交拋物線于A，B兩點(diǎn)，當(dāng)直線l的斜率為時(shí)，求線段的長度.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】受電視機(jī)在保修期內(nèi)維修費(fèi)等因素的影響，企業(yè)生產(chǎn)每臺(tái)電視機(jī)的利潤與該電視機(jī)首次出現(xiàn)故障的時(shí)間有關(guān).某電視機(jī)制造廠生產(chǎn)甲、乙兩種型號(hào)電視機(jī)，保修期均為2年，現(xiàn)從該廠已售出的兩種型號(hào)電視機(jī)中各隨機(jī)抽取50臺(tái)，統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如下：

品牌

甲

乙

首次出現(xiàn)故障時(shí)間x（年）

電視機(jī)數(shù)量（臺(tái)）

3

5

42

8

42

每臺(tái)利潤（千元）

1

2

3

1.8

2.8

將頻率視為概率，解答下列問題：

（1）從該廠生產(chǎn)的甲種型號(hào)電視機(jī)中隨機(jī)抽取一臺(tái)，求首次出現(xiàn)故障發(fā)生在保修期內(nèi)的概率；

（2）該廠預(yù)計(jì)今后這兩種型號(hào)電視機(jī)銷量相當(dāng)，由于資金限制，只能生產(chǎn)其中一種型號(hào)電視機(jī)，若從經(jīng)濟(jì)效益的角度考慮，你認(rèn)為應(yīng)該產(chǎn)生哪種型號(hào)電視機(jī)？說明理由.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】一只藥用昆蟲的產(chǎn)卵數(shù)y與一定范圍內(nèi)的溫度x有關(guān)，現(xiàn)收集了該種藥用昆蟲的6組觀測(cè)數(shù)據(jù)如下表：

溫度x/℃

21

23

24

27

29

32

產(chǎn)卵數(shù)y/個(gè)

6

11

20

27

57

77

經(jīng)計(jì)算得：

，，線性回歸模型的殘差平方和，，

其中分別為觀測(cè)數(shù)據(jù)中的溫度和產(chǎn)卵數(shù)，

（1）若用線性回歸模型，求y關(guān)于x的回歸方程（精確到0.1）；

（2）若用非線性回歸模型求得y關(guān)于x的回歸方程為，且相關(guān)指數(shù).

①試與1中的回歸模型相比，用說明哪種模型的擬合效果更好.

②用擬合效果好的模型預(yù)測(cè)溫度為35℃時(shí)該用哪種藥用昆蟲的產(chǎn)卵數(shù)（結(jié)果取整數(shù)）

附：一組數(shù)據(jù)其回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計(jì)為，；相關(guān)指數(shù).

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】太極是中國古代的哲學(xué)術(shù)語，意為派生萬物的本源.太極圖是以黑白兩個(gè)魚形紋組成的圓形圖案，俗稱陰陽魚.太極圖形象化地表達(dá)了陰陽輪轉(zhuǎn)，相反相成是萬物生成變化根源的哲理.太極圖形展現(xiàn)了一種互相轉(zhuǎn)化，相對(duì)統(tǒng)一的形式美.按照太極圖的構(gòu)圖方法，在平面直角坐標(biāo)系中，圓被的圖象分割為兩個(gè)對(duì)稱的魚形圖案，圖中的兩個(gè)一黑一白的小圓通常稱為“魚眼”，已知小圓的半徑均為，現(xiàn)在大圓內(nèi)隨機(jī)投放一點(diǎn)，則此點(diǎn)投放到“魚眼”部分的概率為（ ）

A. B. C. D.

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