Question

【題目】如圖，在平行六面體ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1⊥平面ABCD，且AB=AD=2，AA1= ，∠BAD=120°．
（1）求異面直線A1B與AC1所成角的余弦值；
（2）求二面角B﹣A1D﹣A的正弦值．

Answer 1

【答案】
（1）解：在平面ABCD內(nèi)，過(guò)A作Ax⊥AD，

∵AA1⊥平面ABCD，AD、Ax平面ABCD，

∴AA1⊥Ax，AA1⊥AD，

以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以Ax、AD、AA1所在直線為x、y、z軸建立空間直角坐標(biāo)系．

∵AB=AD=2，AA1= ，∠BAD=120°，

∴A（0，0，0），B（ ），C（ ，1，0），

D（0，2，0），

A1（0，0， ），C1（ ）．

=（ ）， =（ ）， ， ．

∵cos＜ ＞= = ．

∴異面直線A1B與AC1所成角的余弦值為

（2）解：設(shè)平面BA1D的一個(gè)法向量為 ，

由 ，得 ，取x= ，得 ；

取平面A1AD的一個(gè)法向量為 ．

∴cos＜ ＞= = ．

∴二面角B﹣A1D﹣A的正弦值為 ，則二面角B﹣A1D﹣A的正弦值為 ．

【解析】在平面ABCD內(nèi)，過(guò)A作Ax⊥AD，由AA1⊥平面ABCD，可得AA1⊥Ax，AA1⊥AD，以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以Ax、AD、AA1所在直線為x、y、z軸建立空間直角坐標(biāo)系．結(jié)合已知求出A，B，C，D，A1 ， C1的坐標(biāo)，進(jìn)一步求出 ， ， ， 的坐標(biāo)．（1）直接利用兩法向量所成角的余弦值可得異面直線A1B與AC1所成角的余弦值；（2）求出平面BA1D與平面A1AD的一個(gè)法向量，再由兩法向量所成角的余弦值求得二面角B﹣A1D﹣A的余弦值，進(jìn)一步得到正弦值．
【考點(diǎn)精析】掌握異面直線及其所成的角是解答本題的根本，需要知道異面直線所成角的求法：1、平移法：在異面直線中的一條直線中選擇一特殊點(diǎn)，作另一條的平行線；2、補(bǔ)形法：把空間圖形補(bǔ)成熟悉的或完整的幾何體，如正方體、平行六面體、長(zhǎng)方體等，其目的在于容易發(fā)現(xiàn)兩條異面直線間的關(guān)系．