Question

等差數列{a_n}中，a₂+a₃+a₄=15，a₅=9．
（Ⅰ）求數列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）設bn=3

an+1

2

，求數列{

an+1

2

×b_n}的前n項和S_n．

Answer 1

分析：（Ⅰ）先設出公差為d首項為a₁，根據題意和等差數列的通項公式列出方程組，再解方程組；
（Ⅱ）把（Ⅰ）求出的a_n代入b_n求出b_n，再求出

an+1

2

×bn的表達式，根據式子的特點，利用錯位相減法求出此數列的前n項和．

解答：解：（Ⅰ）設數列{a_n}的公差為d首項為a₁，由題意得，

a2+a3+a4=15 a5=9

，即

3a1+6d=15 a1+4d=9

，
解得a₁=1，d=2，
∴數列{a_n}的通項公式a_n=2n-1，
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得bn=3

an+1

2

=3ⁿ，∴

an+1

2

×bn=n3ⁿ，
∴S_n=1×3+2×3²+3×3³+…+n×3ⁿ，①
3S_n=1×3²+2×3³+3×3⁴+…+n×3ⁿ⁺¹，②
①-②得，-2S_n=3+3²+3³+…+3ⁿ-n×3ⁿ⁺¹=

3(1-3n)

1-3

-n×3ⁿ⁺¹
=

3(3n-1)

2

-n×3ⁿ⁺¹，
∴S_n=

3+(2n-1)•3n+1

4

．

點評：本題考查了等差數列的通項公式，等比數列的前n項和公式等，考查了錯位相減法求數列的前n項和以及運算能力．