Question

（本小題滿分12分）某學(xué)校隨機(jī)抽取部分新生調(diào)查其上學(xué)所需時(shí)間（單位：分鐘），并將所得數(shù)據(jù)繪制成頻率分布直方圖（如圖），其中，上學(xué)所需時(shí)間的范圍是，樣本數(shù)據(jù)分組為，，，，.
（Ⅰ）求直方圖中的值；
（Ⅱ）如果上學(xué)所需時(shí)間不少于1小時(shí)的學(xué)生可申請(qǐng)?jiān)趯W(xué)校住宿，
請(qǐng)估計(jì)學(xué)校600名新生中有多少名學(xué)生可以申請(qǐng)住宿；
（Ⅲ）從學(xué)校的新生中任選4名學(xué)生，這4名學(xué)生中上學(xué)所需時(shí)間
少于20分鐘的人數(shù)記為，求的分布列和數(shù)學(xué)期望.（以直方圖中新生上學(xué)所需時(shí)間少于20分鐘的頻率作為每名學(xué)生上學(xué)所需時(shí)間少于20分鐘的概率）

Answer 1

（Ⅰ）. （Ⅱ）以600名新生中有72名學(xué)生可以申請(qǐng)住宿.
（Ⅲ）的分布列為：

	0	1	2	3	4

.（或）
所以的數(shù)學(xué)期望為1.

本試題主要是考查了直方圖的運(yùn)用，求解頻率和古典概型概率的計(jì)算、分布列和期望值的綜合運(yùn)用。
（1）由直方圖可得：.
所以 .
（2）新生上學(xué)所需時(shí)間不少于1小時(shí)的頻率為：，  …4分
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823223731853619.png" style="vertical-align:middle;" />，所以600名新生中有72名學(xué)生可以申請(qǐng)住宿
（3）因?yàn)橛芍狈綀D可知，每位學(xué)生上學(xué)所需時(shí)間少于20分鐘的概率為，
和隨機(jī)變量的各個(gè)取值，得到分布列和期望值。
解：（Ⅰ）由直方圖可得：.
所以 .                    ………………………………………2分
（Ⅱ）新生上學(xué)所需時(shí)間不少于1小時(shí)的頻率為：，  …4分
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823223731853619.png" style="vertical-align:middle;" />，所以600名新生中有72名學(xué)生可以申請(qǐng)住宿. …5分
（Ⅲ）的可能取值為0，1，2，3，4.        ………………………………………6分
由直方圖可知，每位學(xué)生上學(xué)所需時(shí)間少于20分鐘的概率為，
,       ,
,,
.  ………………………10分
所以的分布列為：

	0	1	2	3	4

.（或）
所以的數(shù)學(xué)期望為1.                 ………………………………………12分