Question

（1）已知雙曲線關(guān)于兩坐標(biāo)軸對(duì)稱，且與圓x²+y²=10相交于點(diǎn)P（3，-1），若此圓過點(diǎn)P的切線與雙曲線的一條漸近線平行，求此雙曲線的方程；
（2）已知雙曲線的離心率e=

5

2

，且與橢圓

x2

13

+

y2

3

=1有共同的焦點(diǎn)，求該雙曲線的方程．

Answer 1

分析：（1）先求出圓過點(diǎn)P的切線方程，進(jìn)而求出雙曲線的兩條漸近線方程，再利用已知漸近線方程設(shè)出雙曲線的方程，最后把點(diǎn)P的坐標(biāo)代入即可求此雙曲線的方程；
（2）先求出橢圓中焦點(diǎn)坐標(biāo)，求出雙曲線中的c，再利用雙曲線的離心率e=

5

2

，求出a²和b²．就可求雙曲線的方程．

解答：解：（1）切點(diǎn)為P（3，-1）的圓x²+y²=10的切線方程是3x-y=10．
∵雙曲線的一條漸近線與此切線平行，且雙曲線關(guān)于兩坐標(biāo)軸對(duì)稱，
∴兩漸近線方程為3x±y=0．
設(shè)所求雙曲線方程為9x²-y²=λ（λ≠0）．
∵點(diǎn)P（3，-1）在雙曲線上，代入上式可得λ=80，
∴所求的雙曲線方程為

x2

80 9

-

y2

80

=1．
（2）在橢圓中，焦點(diǎn)坐標(biāo)為（±

10

，0），
∴c=

10

，又e=

c

a

=

10

a

=

5

2

，∴a²=8，b²=2．
∴雙曲線方程為

x2

8

-

y2

2

=1．

點(diǎn)評(píng)：本題考查雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程的求法．若雙曲線的兩條漸近線方程是y=±

b

a

x，則雙曲線的方程可表示為

x2

a2

-

y2

b2

=λ（λ≠0）．