Question

已知下列結論：
（1）命題“若（x-1）（y-2）=0，則（x-1）²+（y-3）²=0”的逆命題為真；
（2）命題“若x＞0，y＞0，則xy＞0”的否命題為假；
（3）命題“若a＜0，則x²-2x+a=0有實數根”的逆否命題為真；
（4）“x-3=

3-x

”是“x=3或x=2”的充分不必要條件．
其中正確結論的個數為

 

．

Answer 1

分析：（1）命題“若（x-1）（y-2）=0，則（x-1）²+（y-3）²=0”的逆命題為“若（x-1）²+（y-3）²=0，則（x-1）（y-2）=0”真；
（2）命題“若x＞0，y＞0，則xy＞0”的否命題為“若x≤0，或y≤0，則xy≤0”，假；
（3）命題“若a＜0，則x²-2x+a=0有實數根”的逆否命題主要是考慮其根的判別式，為真；
（4）“x-3=

3-x

”是“x=3或x=2”的充分不必要條件．

解答：解：（1）∵x=1，y=2時，有（x-1）（y-2）=0，故命題“若（x-1）（y-2）=0，則（x-1）²+（y-3）²=0”的逆命題為真；
（2）∵當x≤0或y≤0時，不能得到xy≤0，故命題“若x＞0，y＞0，則xy＞0”的否命題為假；
（3）∵原命題為真，故命題“若a＜0，則x²-2x+a=0有實數根”的逆否命題為真；
（4）∵“x-3=

3-x

”可得x=3，故“x-3=

3-x

”是“x=3或x=2”的充分不必要條件為真．
故答案為4

點評：一般地，設“若p則q”為原命題，那么“若q則p”就叫做原命題的逆命題；“若非p則非q”就叫做原命題的否命題；“若非q則非p”就叫做原命題的逆否命題．