Question

如圖，是半圓的直徑，是半圓上除、外的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，平面,，，，．

⑴證明：平面平面；
⑵試探究當(dāng)在什么位置時(shí)三棱錐的體積取得最大值，請(qǐng)說(shuō)明理由并求出這個(gè)最大值．

Answer 1

⑴是直徑，所以，因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/fe/d/ruomn.png" style="vertical-align:middle;" />平面，，所以平面因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/cb/e/1g9po2.png" style="vertical-align:middle;" />，又因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/80/c/1dffg3.png" style="vertical-align:middle;" />，所以，所以平面ACD，因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/87/9/4tlbm1.png" style="vertical-align:middle;" />平面，所以平面平面
⑵當(dāng)為半圓弧中點(diǎn)時(shí)三棱錐的體積取得最大值，最大值為

解析試題分析：⑴因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/8c/3/po0zi.png" style="vertical-align:middle;" />是直徑，所以，因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/fe/d/ruomn.png" style="vertical-align:middle;" />平面，，因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/87/4/10sm33.png" style="vertical-align:middle;" />，所以平面
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/cb/e/1g9po2.png" style="vertical-align:middle;" />，又因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/80/c/1dffg3.png" style="vertical-align:middle;" />，所以四邊形是平行四邊形，所以，所以平面，因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/87/9/4tlbm1.png" style="vertical-align:middle;" />平面，所以平面平面
⑵依題意，，
由⑴知，
，，等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)成立，所以當(dāng)為半圓弧中點(diǎn)時(shí)三棱錐的
體積取得最大值，最大值為
（備注：此時(shí)，，，設(shè)三棱錐的高為，則，）．
考點(diǎn)：線(xiàn)面垂直的判定與性質(zhì)及椎體體積
點(diǎn)評(píng)：第一問(wèn)要證明兩面垂直只需證明其中一個(gè)平面內(nèi)的一條直線(xiàn)垂直于另外一面，即轉(zhuǎn)化為證明線(xiàn)面垂直；第二問(wèn)首先采用等體積法將所求椎體的體積轉(zhuǎn)化求解的角度，而后借助于均值不等式求得最大值