【題目】設(shè)函數(shù), 為正實數(shù).
(1)當(dāng)時,求曲線在點處的切線方程;
(2)求證: ;
(3)若函數(shù)有且只有個零點,求的值.
【答案】(1)(2)詳見解析(3).
【解析】試題分析:(1)由導(dǎo)數(shù)幾何意義得,所以先求導(dǎo)數(shù),代入即得,又,由點斜式得切線方程(2)由于,所以轉(zhuǎn)化為證明恒成立,即,轉(zhuǎn)化為利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)最值(3)因為,而先增后減,且,所以必為最大值(極大值),解得,最后證明當(dāng)1不為極值點時, 的零點不唯一.
試題解析:(1)當(dāng)時, ,則,……………2分
所以,又,
所以曲線在點處的切線方程為.…………4分
(2)因為,設(shè)函數(shù),
則, …………………………………………………6分
令,得,列表如下:
極大值 |
所以的極大值為.
所以.………………………………………………8分
(3), ,
令,得,因為,
所以在上單調(diào)增,在上單調(diào)減.
所以.………………………………………………10分
設(shè),因為函數(shù)只有1個零點,而,
所以是函數(shù)的唯一零點.
當(dāng)時, , 有且只有個零點,
此時,解得.…………………………………………12分
下證,當(dāng)時, 的零點不唯一.
若,則,此時,即,則.
由(2)知, ,又函數(shù)在以和為端點的閉區(qū)間上的圖象不間斷,
所以在和之間存在的零點,則共有2個零點,不符合題意;
若,則,此時,即,則.
同理可得,在和之間存在的零點,則共有2個零點,不符合題意.
因此,所以的值為.…………………………………………………16分
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知某服裝廠每天的固定成本是30000元,每天最大規(guī)模的生產(chǎn)量是件.每生產(chǎn)一件服裝,成本增加100元,生產(chǎn)件服裝的收入函數(shù)是,記,分別為每天生產(chǎn)件服裝的利潤和平均利潤().
(1)當(dāng)時,每天生產(chǎn)量為多少時,利潤有最大值;
(2)每天生產(chǎn)量為多少時,平均利潤有最大值,并求的最大值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】橢圓與軸,軸的正半軸分別交于兩點,原點到直線的距離為,該橢圓的離心率為.
(1)求橢圓的方程;
(2)過點的直線與橢圓交于兩個不同的點,求線段的垂直平分線在軸上截距的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】時下,租車已經(jīng)成為新一代的流行詞,租車自駕游也慢慢流行起來,某小車租車點的收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)是,不超過2天按照300元計算;超過兩天的部分每天收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)為100元(不足1天的部分按1天計算).有甲乙兩人相互獨立來該租車點租車自駕游(各租一車一次),設(shè)甲、乙不超過2天還車的概率分別為;2天以上且不超過3天還車的概率分別;兩人租車時間都不會超過4天.
(1)求甲所付租車費(fèi)用大于乙所付租車費(fèi)用的概率;
(2)設(shè)甲、乙兩人所付的租車費(fèi)用之和為隨機(jī)變量,求的分布列與數(shù)學(xué)期望.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖1,在四棱錐中,底面是正方形,.
(1)如圖2,設(shè)點為的中點,點為的中點,求證: 平面;
(2)已知網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為,請你在網(wǎng)格紙上用粗線畫圖1中四棱錐的府視圖(不需要標(biāo)字母),并說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè)橢圓的焦點,過右焦點的直線與 相交于兩點,若的周長為短軸長的倍.
(1)求的離心率;
(2)設(shè)的斜率為,在上是否存在一點,使得?若存在,求出點的坐標(biāo); 若不存在,說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某人在如圖所示的直角邊長為4米的三角形地塊的每個格點(指縱、橫直線的交叉點以及三角形頂點)處都種了一株相同品種的作物.根據(jù)歷年的種植經(jīng)驗,一株該種作物的年收獲(單位:)與它的“相近”作物株數(shù)之間的關(guān)系如下表所示:
1 | 2 | 3 | 4 | |
51 | 48 | 45 | 42 |
這里,兩株作物“相近”是指它們之間的直線距離不超過1米.
(1)從三角形地塊的內(nèi)部和邊界上分別隨機(jī)選取一株作物,求它們恰好“相近”的概率;
(2)在所種作物中堆積選取一株,求它的年收獲量的分布列與數(shù)學(xué)期望.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】幾何證明選講
在直角坐標(biāo)系中,曲線的參數(shù)方程為(是參數(shù)),以原點為極點,軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,曲線的極坐標(biāo)方程為.
(1)求曲線的直角坐標(biāo)方程,并指出其表示何種曲線;
(2)若曲線與曲線交于兩點,求的最大值和最小值.
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