定義函數(shù)fn（x）=（1+x）n-1，x＞-2，n∈N。
（1）求證：fn（x）≥nx；
（2）是否存在區(qū)間[a，0]（a<0），使函數(shù)在區(qū)間[a，0]上的值域?yàn)閇ka，0]？若存在，求出最小的k值及相應(yīng)的區(qū)間[a，0]，若不存在，說(shuō)明理由。
解：（1）
令
則
當(dāng)時(shí)，
當(dāng)時(shí)，
∴g（x）在x=0處取得極小值，同時(shí)g（x）是單峰函數(shù)，則g（0）也是最小值
∴
即（當(dāng)且僅當(dāng)x=0時(shí)取等號(hào)）；
（2）

令得，
∴當(dāng)時(shí)，
當(dāng)時(shí)，
當(dāng)
故h（x）的草圖如圖所示
①在時(shí)，最小值
∴
②在時(shí)，最小值
，
③在時(shí)，最小值=
∴，時(shí)取等號(hào)
綜上討論可知k的最小值為，此時(shí)。
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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

（2012•黃浦區(qū)二模）對(duì)n∈N*，定義函數(shù)fn（x）=-（x-n）2+n，n-1≤x≤n．
（1）求證：y=fn（x）圖象的右端點(diǎn)與y=fn+1（x）圖象的左端點(diǎn)重合；并回答這些端點(diǎn)在哪條直線(xiàn)上．
（2）若直線(xiàn)y=knx與函數(shù)fn（x）=-（x-n）2+n，n-1≤x≤n（n≥2，n∈N*）的圖象有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)，試將kn表示成n的函數(shù)．
（3）對(duì)n∈N*，n≥2，在區(qū)間[0，n]上定義函數(shù)y=f（x），使得當(dāng)m-1≤x≤m（n∈N*，且m=1，2，…，n）時(shí)，f（x）=fm（x）．試研究關(guān)于x的方程f（x）=fn（x）（0≤x≤n，n∈N*）的實(shí)數(shù)解的個(gè)數(shù)（這里的kn是（2）中的kn），并證明你的結(jié)論．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

定義函數(shù)fn（x）=（1+x）n-1，x＞-2，x∈N*．
（1）求證：fn（x）≥nx；
（2）是否存在區(qū)間[a，0]（a＜0），使函數(shù)h（x）=f3（x）-f2（x）在區(qū)間[a，0]上的值域?yàn)閇ka，0]若存在，求出最小的k值及相應(yīng)的區(qū)間[a，0]，若不存在，說(shuō)明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

對(duì)n∈N*，定義函數(shù)fn（x）=-（x-n）2+n，n-1≤x≤n．
（1）求證：y=fn（x）圖象的右端點(diǎn)與y=fn+1（x）圖象的左端點(diǎn)重合；并回答這些端點(diǎn)在哪條直線(xiàn)上．
（2）若直線(xiàn)y=knx與函數(shù)fn（x）=-（x-n）2+n，n-1≤x≤n（n≥2，n∈N*）的圖象有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)，試將kn表示成n的函數(shù)．
（3）對(duì)n∈N*，n≥2，在區(qū)間[0，n]上定義函數(shù)y=f（x），使得當(dāng)m-1≤x≤m（n∈N*，且m=1，2，…，n）時(shí)，f（x）=fm（x）．試研究關(guān)于x的方程f（x）=fn（x）（0≤x≤n，n∈N*）的實(shí)數(shù)解的個(gè)數(shù)（這里的kn是（2）中的kn），并證明你的結(jié)論．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：月考題 題型：解答題

定義函數(shù)fn（x）=（1+x）n﹣1，x＞﹣2，x∈N*．
（1）求證：fn（x）≥nx；
（2）是否存在區(qū)間[a，0]（a＜0），使函數(shù)h（x）=f3（x）﹣f2（x）在區(qū)間[a，0]上的值域?yàn)閇ka，0]，若存在，求出最小的k值及相應(yīng)的區(qū)間[a，0]，若不存在，說(shuō)明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：2012-2013學(xué)年湖南省常德市芷蘭實(shí)驗(yàn)學(xué)校高三（上）第三次月考數(shù)學(xué)試卷（理科）（解析版） 題型：解答題

定義函數(shù)fn（x）=（1+x）n-1，x＞-2，x∈N*．
（1）求證：fn（x）≥nx；
（2）是否存在區(qū)間[a，0]（a＜0），使函數(shù)h（x）=f3（x）-f2（x）在區(qū)間[a，0]上的值域?yàn)閇ka，0]若存在，求出最小的k值及相應(yīng)的區(qū)間[a，0]，若不存在，說(shuō)明理由．

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