Question

（2009•盧灣區(qū)二模）如圖，已知點H（-3，0），動點P在y軸上，點Q在x軸上，其橫坐標不小于零，點M在直線PQ上，且滿足

HP

•

PM

=0，

PM

=-

3

2

MQ

．
（1）當點P在y軸上移動時，求點M的軌跡C；
（2）過定點F（1，0）作互相垂直的直線l與l'，l與（1）中的軌跡C交于A、B兩點，l'與（1）中的軌跡C交于D、E兩點，求四邊形ADBE面積S的最小值；
（3）（在下列兩題中，任選一題，寫出計算過程，并求出結果，若同時選做兩題，
則只批閱第②小題，第①題的解答，不管正確與否，一律視為無效，不予批閱）：
①將（1）中的曲線C推廣為橢圓：

x2

2

+y2=1，并
將（2）中的定點取為焦點F（1，0），求與（2）相類似的問題的解；
②（解答本題，最多得9分）將（1）中的曲線C推廣為橢圓：

x2

a2

+

y2

b2

=1，并
將（2）中的定點取為原點，求與（2）相類似的問題的解．

Answer 1

分析：（1）設M（x，y），P（0，b），Q（a，0）（a≥0），

HP

=(3 ， b)，

PM

=(x ， y-b)，

MQ

=(a-x ， -y)，由

PM

=-

3

2

MQ

，得{ 

x=- 3 2 (a-x) y-b= 3 2 y

0，從而a=

1

3

x，b=-

1

2

y，由

HP

•

PM

=0，得HP⊥PM，由此能求出M的軌跡C．
（2）設直線l的方程為y=k（x-1）（k≠0），直線l'的方程為y=-

1

k

(x-1)，（k≠0），設A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），由

y=k(x-1) y2=4x

，得ky²-4y-4k=0，故|AB|=

4(1+k2)

k2

，同理|DE|=4（1+k²）由此能求出四邊形ADBE面積S的最小值．
（3）①當k≠0時設直線l的方程為y=k（x-1），由

y=k(x-1) x2 2 +y2=1

，得（1+2k²）x²-4k²x+2k²-2=0，故|AB|=

2 2 (1+k2)

1+2k2

，|DE|=

2 2 (1+k2)

k2+2

，由此能求出四邊形ADBE面積S的最小值．
②由題設，設直線l的方程為y=kx，當k≠0時，由

y=kx x2 a2 + y2 b2 =1

，得（b²+a²k²）x²-a²b²=0，所以|AB|=

2ab 1+k2

b2+a2k2

，同理|DE|=

2ab 1+k2

b2k2+a2

，由此能求出四邊形ADBE面積S的最小值．

解答：解：（1）設M（x，y），P（0，b），Q（a，0）（a≥0），易知

HP

=(3 ， b)，

PM

=(x ， y-b)，

MQ

=(a-x ， -y)，由題設

PM

=-

3

2

MQ

，
得{ 

x=- 3 2 (a-x) y-b= 3 2 y

其中a≥0，從而a=

1

3

x，b=-

1

2

y，且x≥0，
又由已知

HP

•

PM

=0，得HP⊥PM，
當b≠0時，y≠0，此時kHP=

b

3

，得kPM=-

3

b

，
又k_PM=k_PQ，故-

b

a

=-

3

b

，a=

b2

3

，即

1

3

x=

1

3

(-

1

2

y)2，y²=4x（x≠0），
當b=0時，點P為原點，HP為x軸，PM為y軸，點Q也為原點，從而點M也為原點，因此點M的軌跡C的方程為y²=4x，它表示以原點為頂點，以（1，0）為焦點的拋物線；                                         （4分）
（2）由題設，可設直線l的方程為y=k（x-1）（k≠0），直線l'的方程為y=-

1

k

(x-1)，（k≠0），又設A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），
則由

y=k(x-1) y2=4x

，消去x，整理得ky²-4y-4k=0，
故|AB|=

4(1+k2)

k2

，同理|DE|=4（1+k²），（7分）
則S=

1

2

|AB|•|DE|=

1

2

•

4(1+k2)

k2

•4(1+k2)=8(k2+

1

k2

+2)≥32，當且僅當k=±1時等號成立，因此四邊形ADBE面積S的最小值為32．（9分）
（3）①當k≠0時可設直線l的方程為y=k（x-1），
由

y=k(x-1) x2 2 +y2=1

，得（1+2k²）x²-4k²x+2k²-2=0，
故|AB|=

2 2 (1+k2)

1+2k2

，|DE|=

2 2 (1+k2)

k2+2

，（12分）S=

4(1+k2)2

(1+2k2)(k2+2)

=2-

2k2

2k4+5k2+2

=2-

2

2k2+ 2 k2 +5

≥

16

9

，
當且僅當k²=1時等號成立．（14分）
當k=0時，易知|AB|=2

2

，|DE|=

2

，得S=2＞

16

9

，故當且僅當k²=1時四邊形ADBE面積S有最小值

16

9

．（15分）
②由題設，可設直線l的方程為y=kx，當k≠0時，由

y=kx x2 a2 + y2 b2 =1

，
消去x，整理得（b²+a²k²）x²-a²b²=0，得|AB|=

2ab 1+k2

b2+a2k2

，
同理|DE|=

2ab 1+k2

b2k2+a2

，（12分）
則S=

1

2

|AB|•|DE|=

2a2b2(1+k2)

(b2+a2k2)(b2k2+a2)

，其中k²＞0，
若令u=1+k²，則由v=

(b2+a2k2)(b2k2+a2)

(1+k2)2

=

(a2u-c2)(b2u+c2)

u2

=a2b2+

c4

u

-

c4

u2

=-c4(

1

u

-

1

2

)2+

(a2+b2)2

4

，其中u＞1，即0＜

1

u

＜1，故當且僅當u=2，即k²=1時，v有最大值

(a2+b2)2

4

，由S=

2a2b2

v

，得S有最小值

4a2b2

a2+b2

，故當且僅當k=±1時，四邊形ADBE面積S有最小值為

4a2b2

a2+b2

．（17分）
又當k=0時，|AB|=2a，|DE|=2b，此時S=2ab，由

4a2b2

a2+b2

＜2ab，得當且僅當k=±1時，四邊形ADBE面積S有最小值為

4a2b2

a2+b2

．（18分）

點評：本題主要考查橢圓標準方程，簡單幾何性質，直線與橢圓的位置關系，圓的簡單性質等基礎知識．考查運算求解能力，推理論證能力；考查函數(shù)與方程思想，化歸與轉化思想．