Question

設(shè)函數(shù)，是定義域為R上的奇函數(shù)．

（1）求的值，并證明當(dāng)時，函數(shù)是R上的增函數(shù)；

（2）已知，函數(shù)，，求的值域；

（3）若，試問是否存在正整數(shù)，使得對恒成立？若存在，請求出所有的正整數(shù)；若不存在，請說明理由．

 

Answer 1

【答案】

（1）如下（2）（3）存在正整數(shù)=3或4

【解析】

試題分析：解：（1）是定義域為R上的奇函數(shù)，，得．

此時，，，即是R上的奇函數(shù)．

設(shè)，則，

，，，在R上為增函數(shù)．

（2），即，或（舍去），

 

令，由（1）知在[1，2]上為增函數(shù)，∴，

，

當(dāng)時，有最大值；當(dāng)時，有最小值，

∴的值域．

（3）=，，

假設(shè)存在滿足條件的正整數(shù)，則，

①當(dāng)時，．

②當(dāng)時，，則，令，則，易證在上是增函數(shù)，∴．

③當(dāng)時，，則，令，則，易證在上是減函數(shù)，∴．

綜上所述，，∵是正整數(shù)，∴=3或4．

∴存在正整數(shù)=3或4，使得對恒成立．

考點：函數(shù)的單調(diào)性

點評：本題難度較大。函數(shù)的單調(diào)性對求最值、判斷函數(shù)值大小關(guān)系和證明不等式都有較大幫助，而求函數(shù)的單調(diào)性有時可以結(jié)合導(dǎo)數(shù)來求。