Question

如圖，P-ABCD是正四棱錐，ABCD-A₁B₁C₁D₁是正方體，其中．
（1）求證PA⊥B₁D₁；
（2）求平面PAD與平面BDD₁B₁所成的銳二面角θ的正弦值大小；
（3）求B₁到平面PAD的距離．

Answer 1

【答案】分析：（1）以A₁B₁為x軸，A₁D₁為y軸，A₁A為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)E為BD的中點(diǎn)，由P-ABCD是正四棱錐，知PE⊥平面ABCD，由，知，，由此能證明PA⊥B₁D₁．
（2）設(shè)平面PAD的法向量，由，，得．由平面BDD₁B₁的法向量，能求出銳二面角θ的正弦值大�。�
（3）由，知B₁到平面PAD的距離d=，由此能求出結(jié)果．
解答：（1）證明以A₁B₁為x軸，A₁D₁為y軸，A₁A為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，
設(shè)E為BD的中點(diǎn)，∵P-ABCD是正四棱錐，
∴PE⊥平面ABCD，
∵，∴PE=2，
∴P（1，1，4），
∴，，
∴，故PA⊥B₁D₁．
（2）解：設(shè)平面PAD的法向量，
∵，，
∴，∴．
∵平面BDD₁B₁的法向量，
∴cos＜＞==-，
∴=．
（3）解：∵，
∴B₁到平面PAD的距離d==．
點(diǎn)評(píng)：本題考查異面直線垂直的證明，求二面角的余弦值，求點(diǎn)到平面的距離，解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意向量法的靈活運(yùn)用．