Question

某蔬菜基地準備建一批蔬菜大棚，蔬菜大棚的橫截面為如圖所示的等腰梯形，∠ABC=120°，按照設(shè)計要求，其橫截面面積為9平方米．為了使建造的大棚用料最省，橫截面的周長（梯形的底BC與兩腰長的和）必須最小．設(shè)大棚高為x米．
（1）當x為多少米時，用料最省？
（2）如果大棚的高度設(shè)計在[]范圍內(nèi)，求橫截面周長的最小值．

Answer 1

解：（1）由題意知：，=，
所以，解得．
設(shè)橫截面周長為l，則
=，
當，即x=3時等號成立，所以橫截面周長的最小值為，
此時大棚高x為3米；
（2）由（1）知橫截面周長l=．
設(shè)，
因為，
當時，，
所以，則l是x在的減函數(shù)，
所以（米），當x=2時取得最小值．
所以如果大棚的高度設(shè)計在[]范圍內(nèi)，橫截面周長的最小值為米．
分析：（1）利用平面幾何知識，把橫截面上底、下底和腰都用高x表示，直接寫出周長，然后利用基本不等式求出最小值；
（2）利用函數(shù)單調(diào)性的定義證出周長關(guān)于高度的函數(shù)在[]范圍內(nèi)為減函數(shù)，則橫截面周長的最小值可求．
點評：本題考查了根據(jù)實際問題對函數(shù)模型的選擇及應用，考查了函數(shù)單調(diào)性的判斷方法，訓練了利用基本不等式求函數(shù)最值，是中檔題．