Question

如圖，正三棱柱ABC-A₁B₁C₁的底面邊長(zhǎng)為a，側(cè)棱長(zhǎng)為

2

2

a，點(diǎn)D在棱A₁C₁上．
（1）若A₁D=DC₁，求證：直線BC₁∥平面AB₁D；
（2）是否存點(diǎn)D，使平面AB₁D⊥平面ABB₁A₁，若存在，請(qǐng)確定點(diǎn)D的位置，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；
（3）請(qǐng)指出點(diǎn)D的位置，使二面角A₁-AB₁-D平面角的正切值的大小為2，并證明你的結(jié)論．

Answer 1

分析：（1）連接A₁B交AB₁于E點(diǎn)，由A₁D=DC₁，結(jié)合三角形中位線定理可得DE∥BC₁，進(jìn)而根據(jù)線面平行的判定定理得到直線BC₁∥平面AB₁D；
（2）過(guò)點(diǎn)D作DN⊥AB₁于N，過(guò)D作DM⊥A₁B₁于M，由線面垂直的判定定理及同一法，可得M、N應(yīng)重合于B₁點(diǎn)，由點(diǎn)D在棱A₁C₁上，故∠A₁B₁D≤∠A₁B₁C₁=60⁰，故不存在這樣的點(diǎn)D，使平面AB₁D⊥平面ABB₁A₁．
（3）連接MN，過(guò)A₁作A₁F⊥AB₁于F．由（2）的結(jié)合可得∠MND為二面角A₁-AB₁-D平面角，設(shè)

A1D

A1C1

=λ，由二面角A₁-AB₁-D平面角的正切值的大小為2，我們易構(gòu)造關(guān)于λ的方程，解方程求出λ的值，即可指出點(diǎn)D的位置．

解答：解：（1）證明：連接A₁B交AB₁于E點(diǎn)，
在平行四邊形ABB₁A₁中，有A₁E=BE，又A₁D=DC₁…（2分）
∴DE為△A₁BC₁的中位線，從而DE∥BC₁，
又DE?平面AB₁D，BC₁?平面AB₁D，
∴直線BC₁∥平面AB₁D…（4分）
（2）假設(shè)存在點(diǎn)D，使平面AB₁D⊥平面ABB₁A₁，
過(guò)點(diǎn)D作DN⊥AB₁于N，則DN⊥平面ABB₁A₁，
又過(guò)D作DM⊥A₁B₁于M，則DM⊥平面ABB₁A₁，…（6分）
而過(guò)平面外一點(diǎn)有且僅有一條直線與已知平面垂直，故M、N應(yīng)重合于B₁點(diǎn)，此時(shí)應(yīng)有DB₁⊥A₁B₁，故∠A₁B₁D=90°，…（7分）
又點(diǎn)D在棱A₁C₁上，故∠A₁B₁D≤∠A₁B₁C₁=60⁰，
顯然矛盾，故不存在這樣的點(diǎn)D，使平面AB₁D⊥平面ABB₁A₁．…（9分）
（3）連接MN，過(guò)A₁作A₁F⊥AB₁于F．
由（2）中的作法可知：∠MND為二面角A₁-AB₁-D平面角，…（10分）
設(shè)

A1D

A1C1

=λ，則

A1M

A1B1

=

λ

2

，
則可得DM=

3 a

2

λ，A1F=

3

3

a，

MN

A1F

=1-

λ

2

⇒MN=

3 a

3

(1-

λ

2

)，…（12分）
∴tanθ=

DM

MN

=

3 a 2 λ

3 a 3 (1- λ 2 )

=-3+

6

2-λ

．∴-3+

6

2-λ

=2⇒λ=

4

5

即點(diǎn)D在棱A₁C₁上，且

A1D

A1C1

=

4

5

時(shí)，
二面角A₁-AB₁-D平面角的正切值的大小為2．  …（14分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是與二面角有關(guān)的立體幾何綜合體，直線與平面平行的判定，平面與平面垂直的判定，其中（1）的關(guān)鍵是證得DE∥BC₁，（2）的關(guān)鍵是使用反證法和同一法等間接手法進(jìn)行證明，（3）的關(guān)鍵是根據(jù)已知條件構(gòu)造關(guān)于λ的方程．