Question

在平行六面體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，三棱錐B₁-ABC為正四面體，則直線AD₁與平面ACC₁A₁所成角的正弦值為

6

6

．

Answer 1

分析：根據(jù)平行六面體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，三棱錐B₁-ABC為正四面體，可得該幾何體各棱及每個面的較短的對角線均相等，進(jìn)而由正四面體的幾何特征還可得到四棱錐B₁-ACC₁A₁和四棱錐D-ACC₁A₁均為正四棱錐，連接B₁D交平面ACC₁A₁于O，延長A₁A至E，使A₁A=AE，連接AD₁，DE，可得∠OED即為直線AD₁與平面ACC₁A₁所成角，解△OED可得答案．

解答：解：∵平行六面體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，三棱錐B₁-ABC為正四面體，
故B₁C=B₁A=B₁A₁=B₁C₁，即四棱錐B₁-ACC₁A₁為正四棱錐，
同理，四棱錐D-ACC₁A₁也為正四棱錐，
連接B₁D交平面ACC₁A₁于O，則O即為D在平面ACC₁A₁上的射影
延長A₁A至E，使A₁A=AE，連接AD₁，DE，
則DE∥AD₁，
則∠OED即為直線AD₁與平面ACC₁A₁所成角
設(shè)平行六面體ABCD-A₁B₁C₁D₁各棱長均為a
在Rt△OED中，OD為棱長均為a的正四棱錐的高，故OD=

a2-( 2 a 2 )2

=

2

2

a，
OE=

( a 2 )2+( 3a 2 )2

=

10

2

a，
DE=

OD2+OE2

=

3

a
∴sin∠OED=

OD

DE

=

2 2 a

3 a

=

6

6

故答案為：

6

6

點評：本題考查的知識點是直線與平面所成的角，其中根據(jù)已知條件，結(jié)合正四面體的幾何特征，分析出∠OED即為直線AD₁與平面ACC₁A₁所成角，將線面夾角問題轉(zhuǎn)化為解三角形問題是解答的關(guān)鍵．