Question

已知函數(shù)f（x）=x²-6x+4lnx．
（1）給出兩類直線：6x+y+m=0與3x-y+n=0，其中m，n為常數(shù)，判斷這兩類直線中是否存在y=f（x）的切線．若存在，求出相應的m或n的值；若不存在，說明理由．
（2）設定義在D上的函數(shù)y=h（x）在點P（x₀，h（x₀））處的切線方程為l：y=g（x），當x≠x₀，若

h(x)-g(x)

x-x0

＞0在D內(nèi)恒成立，則稱P為函數(shù)y=h（x）的“類對稱點”．試問y=f（x）是否存在“類對稱點”．若存在，請求出“類對稱點”的橫坐標；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析：（1）利用導數(shù)的幾何意義即可判斷出曲線的切線的斜率的取值范圍，進而即可得出答案；
（2）利用“類對稱點”的定義及導數(shù)即可得出答案．

解答：解：（1）∵f（x）=x²-6x+4lnx，∴x＞0，f′(x)=2x+

4

x

-6，
∵f′(x)≥2

2x× 4 x

-6=4

2

-6＞-6，故不存在6x+y+m=0這類直線的切線；
由2x+

4

x

-6=3，解得x=

1

2

，4．
當x=

1

2

時，f(

1

2

)=-

11

4

-4ln2，把點(

1

2

，-

11

4

-4ln2)代入方程3x-y+n=0，解得n=-

17

4

-4ln2；
當x=4時，f（4）=-8+4ln4，把點（4，-8+4ln4）代入方程3x-y+n=0，解得n=4ln4-20．
（2）設點P（x₀，f（x₀））處的切線方程為l：y=g（x），則g（x）-(

x

2 0

-6x0+4lnx0)=(2x0+

4

x0

-6)(x-x0)，
∴g（x）=(

x

2 0

-6x0+4lnx0)+(2x0+

4

x0

-6)(x-x0)，
令φ（x）=f（x）-g（x）=x²-6x+4lnx-(

x

2 0

-6x0+4lnx0)-(2x0+

4

x0

-6)(x-x0)，
則φ（x₀）=0．
φ^′（x）=2x+

4

x

-6-(2x0+

4

x0

-6)=

2

x0

(x-x0)(x0-

2

x

)，
當x0＜

2

時，φ（x）在(x0，

2

x0

)上φ^′（x）＜0，∴φ（x）在此區(qū)間上單調遞減，
∴x∈(x0，

2

x0

)時，φ（x）＜φ（x₀）=0．
從而x∈(x0，

2

x0

)時，

φ(x)

x-x0

＜0．
當x0＞

2

時，φ（x）在(

2

x0

，x0)上φ^′（x）＜0，∴φ（x）在此區(qū)間上單調遞減，
∴x∈(

2

x0

，x0)時，φ（x）＞φ（x₀）=0．
從而x∈(

2

x0

，x0)時，

φ(x)

x-x0

＜0．
∴在(0，

2

)∪(

2

，+∞)不存在“類對稱點”．
當x0=

2

時，
φ ′(x)=

2

x

(x-

2

)2，∴φ（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)，故

φ(x)

x-x0

＞0．
因此x=

2

是一個“類對稱點”的橫坐標．

點評：正確理解導數(shù)的幾何意義、“類對稱點”的意義及熟練掌握利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性是解題的關鍵．