Question

（2012•房山區(qū)一模）已知數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，對一切正整數(shù)n，點P_n（n，S_n）都在函數(shù)f（x）=x²+2x的圖象上，記a_n與a_n+1的等差中項為k_n．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）若bn=2kn•an，求數(shù)列{b_n}的前n項和T_n；
（Ⅲ）設集合A={x|x=kn，n∈N*}，B={x|x=2an，n∈N*}，等差數(shù)列{c_n}的任意一項c_n∈A∩B，其中c₁是A∩B中的最小數(shù)，且110＜c₁₀＜115，求{c_n}的通項公式．

Answer 1

分析：（I）根據(jù)點P_n（n，S_n）都在函數(shù)f（x）=x²+2x的圖象上，可得Sn=n2+2n(n∈N*)，再寫一式，兩式相減，即可求得數(shù)列{a_n}的通項公式；
（II）先確定數(shù)列的通項，再利用錯位相減法求數(shù)列的和；
（III）先確定A∩B=B，再確定{c_n}是公差為4的倍數(shù)的等差數(shù)列，利用110＜c₁₀＜115，可得c₁₀=114，由此可得{c_n}的通項公式．

解答：解：（I）∵點P_n（n，S_n）都在函數(shù)f（x）=x²+2x的圖象上，∴Sn=n2+2n(n∈N*)，
當n≥2時，a_n=S_n-S_n-1=2n+1．…（2分）
當n=1時，a₁=S₁=3滿足上式，
所以數(shù)列{a_n}的通項公式為a_n=2n+1．…（3分）
（II）∵k_n為a_n與a_n+1的等差中項
∴kn=

an+an+1

2

=

2n+1+2(n+1)+1

2

=2n+2…（4分）
∴bn=2knan=4•(2n+1)•4n．
∴Tn=4×3×41+4×5×42+4×7×43+…+4×(2n+1)×4n①
由①×4，得4Tn=4×3×42+4×5×43+4×7×44+…+4×(2n+1)×4n+1②
①-②得：-3Tn=4[3×4+2×(42+43+…+4n)-(2n+1)×4n+1]=4[3×4+2×

42(1-4n-1)

1-4

-(2n+1)×4n+1]
∴Tn=

6n+1

9

•4n+2-

16

9

…（8分）
（III）∵A={x|x=kn，n∈N*}，B={x|x=2an，n∈N*}
∴A∩B=B
∵c_n∈A∩B，c₁是A∩B中的最小數(shù)，∴c₁=6．
∵{c_n}是公差為4的倍數(shù)的等差數(shù)列，∴c10=4m+6(m∈N*)．…（10分）
又∵110＜c₁₀＜115，∴

110＜4m+6＜115 m∈N*

，解得m=27．
所以c₁₀=114，
設等差數(shù)列的公差為d，則d=

c10-c1

10-1

=

114-6

9

=12，…（12分）
∴c_n=6+（n+1）×12=12n-6，
∴c_n=12n-6．…（13分）

點評：本題考查數(shù)列與函數(shù)的關系，考查數(shù)列的通項與求和，正確運用求和公式是關鍵．