Question

某縣位于沙漠地帶，人與自然長期進行著頑強的斗爭，到2001年底全縣的綠化率已達30%．從2002年開始，每年將出現(xiàn)這樣的局面，即原有沙漠面積的16%將被綠化，與此同時，由于各種原因，原有綠化面積的4%又被沙化．
（1）設(shè)全縣面積為1，2001年底綠化面積為a1=

3

10

，經(jīng)過n年綠化總面積為a_n+1．求證：an+1=

4

25

+

4

5

an．
（2）至少需要多少年（年取整數(shù)，lg2=0.3010）的努力，才能使全縣的綠化率達到60%？

Answer 1

分析：（1）根據(jù)題意利用今年的綠化面積表示出明年的綠化面積是解決本題的關(guān)鍵，弄清楚今年的綠化面積與明年綠化面積之間的關(guān)系，將文字語言表示為數(shù)學(xué)語言；
（2）根據(jù)（1）中得出的兩年綠化面積之間的遞推關(guān)系，通過構(gòu)造轉(zhuǎn)化為特殊數(shù)列進而求出該數(shù)列的通項公式是解決本題的關(guān)鍵，利用指數(shù)式和對數(shù)式之間的關(guān)系確定出合題意的年份．

解答：解：（1）證明：由已知可得a_n確定后，a_n+1表示如下：a_n+1=a_n•（1-4%）+（1-a_n）•16%
即a_n+1=80%a_n+16%=

4

5

a_n+

4

25

（2）解：由a_n+1=

4

5

a_n+

4

25

可得：a_n+1-

4

5

=

4

5

（a_n-

4

5

）=（

4

5

）²（a_n-1-

4

5

）=…=(

4

5

)n(a1-

4

5

)
故有a_n+1=-

1

2

(

4

5

)n+

4

5

，若a_n+1≥

3

5

．則有-

1

2

(

4

5

)n+

4

5

≥

3

5

．即

1

2

≥(

4

5

)n-1
兩邊同時取對數(shù)可得-lg2≥（n-1）（2lg2-lg5）=（n-1）（3lg2-1）
故n≥

lg2

1-3lg2

+1＞4，故使得上式成立的最小n∈N^*為5，
答：最少需要經(jīng)過5年的努力，才能使全縣的綠化率達到60%．

點評：本題考查數(shù)列在實際問題中的應(yīng)用，考查探索數(shù)列遞推關(guān)系的數(shù)學(xué)模型意識，關(guān)鍵要將題目中的文字語言轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)語言，考查學(xué)生根據(jù)數(shù)列的遞推關(guān)系確定通項公式的方法，考查學(xué)生對數(shù)的運算、轉(zhuǎn)化與化歸思想方法．