Question

 （本小題滿分14分）如圖，已知A、B、C是長軸長為4的橢圓上的三點(diǎn)，點(diǎn)A是橢圓的右頂點(diǎn)，直線BC過橢圓的中心O（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），且.

  （1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

  （2）如果橢圓上的兩點(diǎn)P、Q，使得直線CP、CQ

與軸圍成底邊在軸上的等腰三角形，

是否總存在實(shí)數(shù)使得？

請給出證明.

Answer 1

（1）設(shè)橢圓的方程為，

因?yàn)闄E圓的長軸長為4，所以，                                                              （1分）

因?yàn)辄c(diǎn)A是橢圓的右頂點(diǎn)，所以，

因?yàn)?sub>，

所以是等腰直角三角形，從而知C點(diǎn)的坐標(biāo)為（1,1），              （3分）

代入橢圓的方程得，                                

所以橢圓的方程為.                                          （5分）

（2）依題意可設(shè)直線，

與橢圓的方程聯(lián)立，消去y得

，                                                     （6分）

則，

從而且，                                                                                    （7分）

設(shè)點(diǎn)，而，由根與系數(shù)的關(guān)系知，

，                                                         （8分）

將P點(diǎn)的坐標(biāo)代入直線，得，                （9分）

因?yàn)橹本�CP、CQ的斜率互為相反數(shù)，而且，

故設(shè)點(diǎn)，

同理可知，                                            （11分）

所以，                                                                       （12分）

因?yàn)闄E圓是中心對稱圖形，所以，

故，即總存在實(shí)數(shù)，使.             （14分）