(2012•江門一模)已知函數(shù)f(x)=lnx-ax+1,a∈R是常數(shù).
(1)求函數(shù)y=f(x)的圖象在點(diǎn)P(1,f(1))處的切線l的方程,并證明函數(shù)y=f(x)(x≠1)的圖象在直線l的下方;
(2)討論函數(shù)y=f(x)零點(diǎn)的個(gè)數(shù).
分析:(1)已知f(x)=lnx-ax+1,對(duì)你進(jìn)行求導(dǎo),根據(jù)導(dǎo)數(shù)和斜率的關(guān)系,求出切線的方程;
(2)令y=0,進(jìn)行變形lnx=ax-1,利用數(shù)形結(jié)合的方法,進(jìn)行分類討論,討論函數(shù)y=f(x)的零點(diǎn);
解答:解:(1)f(1)=-a+1,
k1=f′(1)=1-a,所以切線l的方程為
y-f(1)=k1×(x-1),即y=(1-a)x
作F(x)=f(x)-(1-a)x=lnx-x+1,x>0,則
x (0,1) 1 (1,+∞)
F′(x) + 0 -
F(x) 最大值
F′(x)=
1
x
-1=
1
x
(1-x),解F′(x)=0得x=1.
所以任意x>0且x≠1,F(xiàn)(x)<0,f(x)<(1-a)x,
即函數(shù)y=f(x)(x≠1)的圖象在直線l的下方.
(2)令y=0,即lnx=ax-1,畫圖可知
當(dāng)a≤0時(shí),直線y=ax-1與y=lnx的圖象有且只有一個(gè)交點(diǎn),即一個(gè)零點(diǎn);
當(dāng)a>0時(shí),設(shè)直線y=ax-1與y=lnx切于點(diǎn)(x0,lnx0),切線斜率為k=
1
x0

∴切線方程為y-lnx0=
1
x0
(x-x0),把(0,-1)代入上式可得x0=1,k=1
∴當(dāng)0<a<1時(shí),直線y=ax-1與y=lnx有兩個(gè)交點(diǎn),即兩個(gè)零點(diǎn);
當(dāng)a=1時(shí)直線y=ax-1與y=lnx相切于一點(diǎn),即一個(gè)零點(diǎn);
當(dāng)a>1時(shí)直線y=ax-1與y=lnx沒有交點(diǎn),即無(wú)零點(diǎn).
綜上可知,當(dāng)a>1時(shí),f(x)無(wú)零點(diǎn);當(dāng)a=1或a≤0時(shí),f(x)有且僅有一個(gè)零點(diǎn);
當(dāng)0<a<1時(shí),f(x)有兩個(gè)零點(diǎn).
點(diǎn)評(píng):本題主要考查導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)與原函數(shù)的單調(diào)性之間的關(guān)系,即當(dāng)導(dǎo)函數(shù)大于0時(shí)原函數(shù)單調(diào)遞增,當(dāng)導(dǎo)函數(shù)小于0時(shí)原函數(shù)單調(diào)遞減,還考查了數(shù)形結(jié)合的思想,是一道中檔題;
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(2012•江門一模)(幾何證明選講選做題)
如圖,E、F是梯形ABCD的腰AD、BC上的點(diǎn),其中CD=2AB,EF∥AB,若
EF
AB
=
CD
EF
,則
AE
ED
=
2
2
(或相等的數(shù)值)
2
2
(或相等的數(shù)值)

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(2012•江門一模)有人收集了春節(jié)期間平均氣溫x與某取暖商品銷售額y的有關(guān)數(shù)據(jù)如下表:
平均氣溫(℃) -2 -3 -5 -6
銷售額(萬(wàn)元) 20 23 27 30
根據(jù)以上數(shù)據(jù),用線性回歸的方法,求得銷售額y與平均氣溫x之間線性回歸方程y=
b
x+a的系數(shù)
b
=-2.4
.則預(yù)測(cè)平均氣溫為-8℃時(shí)該商品銷售額為( 。

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(2012•江門一模)如圖,某幾何體的正視圖和側(cè)視圖都是對(duì)角線長(zhǎng)分別為4和3的菱形,俯視圖是對(duì)角線長(zhǎng)為3的正方形,則該幾何體的體積為( 。

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(2012•江門一模)如圖,四邊形ABCD中,AB=5,AD=3,cosA=
45
,△BCD是等邊三角形.
(1)求四邊形ABCD的面積;
(2)求sin∠ABD.

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