Question

設(shè)|z₁|=5，|z₂|=2，|z₁-|=，求=________．

Answer 1

2±i
分析：設(shè) z₁=5（cosα+isinα ），z₂=2（cosβ+isinβ），求得 、 以及z₁-，再根據(jù)條件求得cos（α+β）的值，
可得 sin（α+β）的值，再利用復(fù)數(shù)三角形式的運(yùn)算法則求得的值．
解答：由題意得，可設(shè) z₁=5（cosα+isinα ），z₂=2（cosβ+isinβ），=5[cosα-isinα]=5[cos（-α）+isin（-α）]，
=2（cosβ-isinβ）=2[cos（-β）+isin（-β）]，z₁-=（5cosα-2cosβ）+i（5sinα+2sinβ）．
再由|z₁-|=，可得（5cosα-2cosβ）²+（5sinα+2sinβ）²=13，化簡(jiǎn)可得 cos（α+β）=．
再由同角三角函數(shù)的基本關(guān)系可得 sin（α+β）=±．
故 ==×[cos（-α-β）+isin（-α-β）]=×[cos（α+β）-isin（α+β）]
=×[±i]=2±i
故答案為：2±i．
點(diǎn)評(píng)：本題考查復(fù)數(shù)的模的定義，復(fù)數(shù)三角形式的運(yùn)算法則應(yīng)用，求出 cos（α+β）=、sin（α+β）=±，是解題的關(guān)鍵，
屬于基礎(chǔ)題．