Question

有甲、乙兩種商品，經(jīng)營(yíng)銷售這兩種商品所能獲得的利潤(rùn)依次為Q₁萬(wàn)元和Q₂萬(wàn)元，它們與投入的資金的關(guān)系是Q₁=

1

5

x，Q₂=

3

5

x

，今有3萬(wàn)元資金投入經(jīng)營(yíng)甲、乙兩種商品，為獲得最大利潤(rùn)，對(duì)甲、乙兩種商品的資金投入應(yīng)分別為多少？

Answer 1

分析：設(shè)甲、乙兩種商品的資金投入分別為x萬(wàn)元，（3-x）萬(wàn)元時(shí)，利潤(rùn)函數(shù)Q=Q₁+Q₂=

1

5

x+

3

5

3-x

，用換元法：令

3-x

=t，則Q可表示為t的二次函數(shù)，從而求得Q的最大值，即獲最大利潤(rùn)，進(jìn)而得出甲、乙兩種商品的資金投入．

解答：解：設(shè)甲、乙兩種商品的資金投入分別為x萬(wàn)元，（3-x）萬(wàn)元，
則利潤(rùn)為：Q=Q₁+Q₂=

1

5

x+

3

5

3-x

（0≤x≤3），
令

3-x

=t，則x=3-t²（t≥0），
∴Q=

1

5

（3-t²）+

3

5

t=-

1

5

（t-

3

2

）²+

21

20

；
∵t=

3

2

∈[0，+∞），
所以，當(dāng)t=

3

2

時(shí)，即x=

3

4

時(shí)，Q有最大值

21

20

，此時(shí)3-x=

9

4

，此時(shí)獲最大利潤(rùn)，
所以，甲、乙兩種商品的資金投入應(yīng)分別為

3

4

萬(wàn)元和

9

4

萬(wàn)元．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了二次函數(shù)模型的應(yīng)用，利用換元法把含有根號(hào)的函數(shù)轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)時(shí)，要注意自變量取值范圍的變化．