【選修4-5：不等式選講】
已知實數(shù)x，y，z滿足x2+y2+z2=1．
（Ⅰ）求x+2y+2z的取值范圍；
（Ⅱ）若不等式|a-3|+
a2
≥x+2y+2z對一切實數(shù)x，y，z恒成立，求實數(shù)a的取值范圍．
分析：（I）由柯西不等式可得9=（12+22+22）（x2+y2+z2）≥（1×x+2×y+2×z）2，即可得出x+2y+2z的取值范圍．
（II）不等式|a-3|+
a
2
≥x+2y+2z對一切實數(shù)x，y，z恒成立?|a-3|+
a
2
≥(x+2y+2z)max，再對a分類討論即可得出．
解答：解：（I）由柯西不等式可得9=（12+22+22）（x2+y2+z2）≥（1×x+2×y+2×z）2，
∴-3≤x+2y+2z≤3，當且僅當
x
1
=
y
2
=
z
2
x2+y2+z2=1
，即y=z=2x=
2
3
時，右邊取等號；同理當且僅當y=z=2x=-
2
3
時左邊取等號．
（II）由（I）可知：-3≤x+2y+2z≤3，∴（x+2y+2z）max=3．
∴不等式|a-3|+
a
2
≥x+2y+2z對一切實數(shù)x，y，z恒成立?|a-3|+
a
2
≥(x+2y+2z)max=3．
∴
a≥3
a-3+
a
2
≥3
或
a＜3
3-a+
a
2
≥3
，
解得a≥4或a≤0．
點評：本題考查了柯西不等式的應用、含絕對值不等式的解法、分類討論等基礎知識與基本技能方法，屬于中檔題．
練習冊系列答案
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